Сила, действующая на черную дыру

Если вектор Пойнтинга внешнего электромагнитного поля отличен от нуля и не направлен по оси симметрии черной дыры, то поглощение черной дырой импульса поля должно быть асимметричным. В силу глобального сохранения импульса на черную дыру при этом будет действовать некоторая сила, квадратично зависящая от напряженности поля. Для расчета эффекта можно воспользоваться приемом Пресса [152]. Представим себе, что электромагнитное поле создается токами, текущими по сферической оболочке радиуса Сила, с которой электромагнитное поле действует на оболочку, будет равна и противоположна по направлению силе, действующей на черную дыру. С другой стороны, действующая на оболочку сила определяется картиной скалярного и векторного потенциалов лишь вблизи нее, а эта картина та же, что и для черно» дыры с зарядом, создающим эквивалентную разность потенциалов между горизонтом и бесконечностью.

Следуя этим рассуждениям, указанный пондемоторный эффект удается рассчитать точно. Представим себе, что стационарное электромагнитное поле, описываемое скалярами Ньюмена-Пенроуза (31), создается некоторым распределением электрического и магнитного токов, текущих по сферической поверхности радиуса так что вне этой поверхности поле отсутствует (это, разумеется, возможно лишь при Соответствующее распределение комплексного тока найдем, подставляя; в уравнения Максвелла (5.10) комплексный бивектор

где величины задаются формулами (31). Дифференцируя (32), находим

где индекс 1 обозначает радиальную компоненту в координатах Бойера-Линдквиста. Плотность действующей на оболочку силы вычисляется как произведение полусуммы внутреннего и внешнего полей (т. е. в нашем случае половины внутреннего поля) на соответствующие токи:

или после подстановки (33)

Выразив комплексный бивектор через скаляры Ньюмена-Пенроуза, найдем

Введем «декартову» тетраду, ассоциируемую с локально статической системой отсчета

Ориентация осей x, у, z не зависит от положения точки на поверхности сферы, находящейся в асимптотически плоской области и совпадает с ориентацией декартовой системы координат покоящегося на бесконечности наблюдателя, с осью вдоль оси симметрии черной дыры. Проектируя плотность силы (36) на пространственные векторы тетрады и интегрируя по объему, получим пространственные (декартовы) компоненты силы, действующей на оболочку

где Подставляя в (36) асимптотические разложения для скаляров Ньюмена-Пенроуза, найдем, что два первых члена в расходятся при как третий член не зависит от четвертый убывает как все остальные убывают быстрее и в рассматриваемой задаче не существенны:

Первый и второй члены описывают силы, деформирующие

оболочку; соответствующие вклады исчезают в результате интегрирования по углам

При вычислении действующей на черную дыру силы существенным является третий член в (39). В результате громоздких преобразований получаем в линейном приближении по а

где причем что после интегрирования приводит к результату

Как видно из этих формул, сила, действующая на оболочку, пропорциональна моменту вращения черной дыры и квадратична по напряженностям внешнего поля. Аналогичным способом можно вычислить и «обычную» силу, действующую на (слабо) заряженную черную дыру во внешнем однородном электромагнитном поле. Соответствующая плотность силы получается в результате свертывания комплексного бивектора

отвечающего кулонову полю заряда с плотностью токов, текущих по оболочке, что приводит вместо (35) к выражению

(отсутствие коэффициента 1/2 обусловлено тем, что кулоново поле не имеет разрыва при Подставляя сюда разложение (32) для находим

Это выражение нужно подставить в (38) и выполнить интегрирование по углам. Вычисления полностью аналогичны приведенным выше; при этом оказывается, что в пределе интегралы конечны и сводятся к ожидаемому результату

В силу глобального сохранения импульса равная и противоположно направленная сила будет приложена к черной дыре. Объединяя (40) и (44) и переходя к векторной форме записи (трехмерные векторы отнесены к асимптотически декартовой системе

координат, в которой заданы , находим для силы, действующей на вращающуюся заряженную черную дыру в постоянном и однородном электромагнитном поле, выражение

Первое слагаемое соответствует ожидаемому (но требующему доказательства, альтернативный вывод см. в [137]) результату — на заряженную черную дыру в электрическом поле действует такая же сила, что и на точечный заряд. Второе слагаемое можно интерпретировать, используя соображения об индукционной разности потенциалов в магнитном (14) и электрическом (22) полях. Действительно, переписав в виде

нетрудно заметить, что первый член пропорционален силе, действующей на фиктивный электрический заряд (создающий эквивалентную разность потенциалов) со стороны электрического поля второй — силе, действующей на фиктивный магнитный заряд в магнитном поле В. При этом компоненты указанных сил в направлении оси симметрии черной дыры взаимно уничтожаются.

Отметим еще одну возможную форму записи силы

где вектор Пойнтинга внешнего электромагнитного поля. Это выражение можно понимать как описывающее взаимодействие моментов количества движения черной дыры и электромагнитного поля.