§ 2. «ЗАМАГНИЧЕННЫЕ» ЧЕРНЫЕ ДЫРЫ

Обсудим некоторые точные решения системы уравнений Эйнштейна — Максвелла, которые (хотя и с оговорками) можно истолковать как описывающие черные дыры в магнитной Вселенной Мелвина Эти решения не являются асимптотически плоскими, но имеют несингулярный горизонт событий; при устремлении к нулю напряженности магнитного поля В, направленного вдоль оси симметрии, они переходят в решения из семейства Керра—Ньюмена. Оценим напряженность магнитного поля, существенно влияющего на геометрию пространства-времени в окрестности шварцшильдовой черной дыры, приравнивая энергию поля в цилиндре радиуса и высоты равную самой массе дыры Ясно, что магнитное поле напряженности В начинает существенно искажать метрику на расстоянии от сингулярности (в системе имеет размерность Магнитное поле порядка

масса Солнца, будет существенно искажать метрику уже вблизи горизонта (в обычных единицах

Симметрия SU(2, 1) уравнений Эйнштейна — Максвелла для аксиально-симметричных полей

Идея использования симметрий уравнений Эйнштейна — Максвелла для получения новых точных решений на основе известных восходит к Элерсу [57], Харрисону [58] и Эрнсту [59] (см. также [60—62]). Для аксиально-симметричных полей система уравнений Эйнштейна — Максвелла может быть записана в виде двух нелинейных уравнений Эрнста [59] для комплексных потенциалов (определения и вывод см. например, в [59, 224])

В результате параметризации где — комплекснозначные функции, система (2) при некотором дополнительном условии приводится к форме [62]

где поднятие и опускание индексов осуществляется с помощью метрики Ясно, что унитарные преобразования в трехмерном комплексном пространстве с этой метрикой оставляют уравнения (3) инвариантными, при этом физически существенные преобразования образуют группу (умножение иА на фазовый множитель не изменяет потенциалов Эрнста). В формулах коэффициентная функция, а оператор осуществляет ковариантное дифференцирование в двумерном пространственном сечении многообразия, метрика которого определяется линейным элементом в форме Папапетру [143]

Применяя к комплексным потенциалам Эрнста преобразование из группы , получим новые потенциалы, генерирующие точное решение системы уравнений Эйнштейна — Максвелла Эрнст [63] обратил внимание, что преобразование такого типа, Задаваемое вещественным параметром В

(указанное ранее Харрисоном [58]), будучи примененным к метрике плоского пространства-времени, приводит к метрике магнитной вселенной Мелвина [56]. Соответствующее преобразование метрики Шварцшильда дает решение, которое можно интерпретировать как описывающее Вселенную Мелвина, содержащую черную дыру; физические свойства его изучались в [64]. Известно также решение, описывающее заряженную вращающуюся черную дыру для частного значения заряда [65], а также для произвольного заряда, но медленного вращения [66], в общем случае вдали от черной дыры при этом оказывается отличным от нуля не только магнитное, но и электрическое поле.