§ 3. ОРБИТЫ ПРОБНЫХ ЧАСТИЦ

Интегралы движения в поле Керра — Ньюмена

Исследованию движения нейтральных и заряженных частиц в поле черных дыр посвящено много работ (см. обзоры [71, 72], а также [2, 21, 36]). Впервые на возможность полного разделения переменных в уравнении Гамильтона — Якоби для заряженных частиц, движущихся в поле Керра — Ньюмена, было указано в работе Картера Помимо интегралов движения, ассоциируемых с векторами Киллинга, Картером был обнаружен еще один интеграл, выступавший в качестве константы разделения переменных. Впоследствии было выяснено [41—45], что существование этого интеграла связано с наличием нетривиального тензора Штеккеля — Киллинга (1.57) для метрики Керра — Ньюмена, согласованного с электромагнитным полем.

Доказать существование интегралов движения можно и не обращаясь к формализму Гамильтона — Якоби. Действительно, если

обобщенный импульс частицы в электромагнитном поле с 4-потен-циалом то в силу уравнений движения

производная от скалярного произведения где — вектор Киллинга,

обращается в нуль, если производная Ли от 4-потенциала вдоль векторного поля Киллинга равна нулю (первый член во второй строчке равен нулю в силу антисимметрии ковариантной производной Для поля Керра — Ньюмена и, следовательно, существуют два интеграла движения — полная энергия.

и момент количества движения

Третий интеграл (Картера) имеет вид

где тензор Штеккеля — Киллинга (1.57). Производная от этой величины вдоль орбиты частицы

обращается в нуль в силу равенства нулю (1-28) и соотношения (1.30), которое имеет место для электромагнитного 4-потенциала поля Керра — Ньюмена. Учитывая явный вид тензора (1.57), интеграл Картера можно представить следующими равнозначными формулами:

где проекции 4-скорости на векторы изотропной тетрады.

Ниже рассмотрены частные классы орбит нейтральных и заряженных частиц около черных дыр, которые использованы для приложений. Более полную информацию можно найти в [2].