Решения однородного радиального уравнения

Обратимся к построению решений однородного уравнения для радиальных функций (22). Переходя к черепашьей координате и новой функции

получим уравнение

где «эффективный потенциал» равен

В случае выражение (58) является вещественным и совпадает с (4.67). При функция комплекснозначна, что сказывается, в частности, и на асимптотическом поведении решений. В асимптотических областях функция имеет вид

где через обозначена величина

Поскольку при черепашья координата совпадает с из уравнения (57) с потенциалом (59) следует, что существуют линейно-независимые решения, имеющие асимптотический вид

т. е. представляют собой расходящиеся и сходящиеся волны с растущей или убывающей амплитудой.

Вблизи горизонта, т. е. при , решения уравнения (57) с потенциалом (60), очевидно, можно записать как

Учитывая, что величина при комплексна, и принимая во внимание соотношение

справедливое в окрестности горизонта определяется выбором постоянной интегрирования при переходе к координате можно переписать (63) в виде

Из анализа, проведенного в § 4, ясно, что эти решения следует рассматривать как расходящиеся и сходящиеся волны, амплитуда которых стремится к нулю либо расходится при

Аналогично функциям можно ввести функции и первая из которых при представляет расходящуюся волну, а вблизи горизонта — суперпозицию выходящей и входящей волн

а вторая — падающую на черную дыру волну при

где некоторые комплексные коэффициенты (не путать со спиновыми коэффициентами!). Эффективный потенциал (58) при комплексном сопряжении переходит в

поэтому наряду с (66) и (67) решениями радиального уравнения будут Приравнивая асимптотические значения вронскиана находим соотношение между коэффициентами в (66) и (67)

Аналогично использование вронскиана дает

Наконец, с помощью вронскиана получим соотношение

обобщающее (4.79) на случай Заметим, что наличие знакового множителя перед вторым слагаемым выражает эффект сверхизлучения для всех

Построим теперь потенциалы Дебая, отвечающие решениям однородного уравнения типа Соответствующие радиальные функции с противоположными значениями должны быть связаны между собой соотношениями (42) и (43) при и (54), (55) при . В результате подстановки (56) применительно к функциям получим набор решений а также комплексно-сопряженных, которые обозначим вслед за Хржановским и Мизнером [94] как

Для этих решений между коэффициентами с противоположными значениями имеются соотношения, вытекающие из формул (42), (43), (54) и (55), применительно к асимптотикам функций Предварительно заметим, что в асимптотических, областях операторы имеют вид

Действуя оператором (73) на асимптотики функций найдем с учетом главных членов

в то время как величина более высокого порядка малости при Аналогично

тогда как величина мала.

В области вблизи горизонта предварительно следует умножить функции на (см. (56)), представив с помощью соотношения (64). Применяя к асимптотическим выражениям (63) оператор (74), найдем, что при

в то время как величины при малы. В формулах (77), (78) величины равны

(отметим, что Применяя соотношения (42), (43), (54) и (55) к радиальным функциям соответствующим решениям (67), с учетом сказанного получим следующие соотношения между коэффициентами:

где введено обозначение для величин

Специализированные таким образом коэффициенты в выражениях для мод (66), (67), (6.72) определяют согласованные выражения для радиальных частей потенциалов Дебая (27) в обеих калибровках Возмущения метрики могут быть найдены с помощью формулы (33) в любой из калибровок, при этом соответствующие полевые функции одинаковы, как это и должно быть в силу калибровочной инвариантности максвелловского тензора и тетрадных проекций тензора Вейля.