Движение заряженных частиц в однородном магнитном поле около черных дыр

Для описания движения заряженных частиц в поле в уравнениях (29), (31), (32) и (33) следует сделать замену где заряд частицы, причем параметр теперь играет роль обобщенного импульса, соответствующего азимутальной координате. Правое и левое вращения в экваториальной плоскости становятся неэквивалентными из-за различного направления силы Лоренца. По этой же причине радиальное движение при фиксированном значении различно для частиц разного знака заряда. При значениях удовлетворяющих неравенству

эффективный потенциал радиального движения монотонно возрастает с увеличением при любом знаке заряда. При достаточно больших по сравнению с правой частью (42) значениях имеет минимум, расположенный при в точке

причем кривая, соответствующая знаку заряда, при котором сила Лоренца направлена от дыры, проходит всюду ниже кривой, отвечающей противоположному знаку заряда (рис. 2). Мы приходим к выводу, что радиальный потенциальный барьер для частиц одного знака заряда под действием магнитного поля опускается, а для частиц противоположного знака поднимается, что делает возможным радиальное прохождение частиц в первом случае при энергии, меньшей соответствующего шварцшильдова значения.

Параметры круговых траекторий заряженных частиц в плоскости также зависят от знака заряда. Энергия и обобщенный момент для круговых орбит зависят от их радиуса следующим сбразом:

причем условием существования круговых орбит является неотрицательность подкоренного выражения.

Рис. 2. Эффективный потенциал радиального движения заряженной частицы в магнитном поле вокруг шварцшильдовой черной дыры при различных Кривые построены для случая

Рис. 3. Области существования и устойчивости круговых орбит заряженных частиц в зависимости от напряженности магнитного поля вокруг черной дыры. Заштрихована область параметров, при которых не существуют круговые орбиты. Сплошная кривая ограничивает область радиальной устойчивости анти-ларморовых орбит, пунктирная — ларморовых

Заметим, что если в случае нейтральных частиц влияние магнитного поля определялось отношением то в случае заряженных частиц определяющую роль играет фактор связанный с силой Лоренца. Даже при очень малом значении отношения для частиц с большим отношением (для

электрона параметр может быть не малым. В дальнейшем будем пренебрегать «геометрическим» воздействием магнитного поля на заряженные частицы, полагая . В этом случае вместо (3.44) будем иметь

Нетрудно видеть, что величина имеет особенность при в то время как такой особенности не имеет. Область существования круговых траекторий, задаваемая условием положительности подкоренного выражения в (3.45), простирается при достаточно больших значениях отношения вплоть до горизонта (рис. 3).

Покажем, что при возможно вращение в обе стороны, а в области возможно только такое вращение, при которой сила Лоренца направлена от дыры. Запишем радиальное уравнение движения

где циклотронная частота в гравитационном поле Первое слагаемое в правой части (46) представляет силу гравитационного притяжения, второе — центробежную» силу, третье — силу Лоренца. Обозначив частоту кругового движения в поле Шварцшильда через для круговых орбит найдем

Нижний знак в (47) соответствует силе Лоренца, направленной на, дыру («ларморово» вращение), верхний знак отвечает силе Лоренца, направленной от дыры («антиларморово» вращение). При частоты (47) стремятся к а при найдем, что Из условия равенства единице квадрата четырех-скорости получим

Из этой формулы видно, что ларморово движение возможно только в области в то время как антиларморово движение возможно как в области так и в области Сопоставляя формулы (43), (45), (47), нетрудно прийти к выводу, что

при ларморово вращение соответствует значению выражения (45), а антиларморово — значению Угловая скорость (47) после подстановки соответствующих значений энергии может быть также записана в виде

Для случая антиларморова вращения точка не представляет особенности, для ларморова же вращения как и в случае геодезического движения. При достаточном удалении от точки именно при

разность энергий, соответствующих двум вращениям в противоположном направлении при заданном радиусе, выражается формулой

при положительном значении заряда энергия, соответствующая ларморову вращению, больше. При еще больших значениях радиуса сила Лоренца становится доминирующей, и мы получим

откуда для ларморовых орбит получается обычное значение циклотронного радиуса. Таким образом ларморово вращение можно рассматривать как искаженное гравитационным полем циклотронное вращение, антиларморово же вращение возможно только в комбинированном поле черной дыры и магнитном.

Антиларморову вращению в области отвечают оба знака перед корнем в (45). При существуют круговые траектории, радиусы которых близки к радиусу горизонта

По мере приближения к горизонту энергия антиларморовых траекторий стремится к нулю, что связано с гравитационным дефектом массы. Энергия, измеренная в локально-лоренцевой системе отсчета на границе, определяемой знаком равенства в (52), равна конечной величине Этому значению отвечает гравитационный дефект массы

который может быть сколь угодно близким к 100%.

Зависимость энергий ларморовых и антиларморовых траекторий при некоторых значениях параметра показана на рис. 4. Отметим, что при существуют ларморовы траектории, характеризуемые сколь угодно большим значением у, причем ультрарелятивистский характер движения не связан с близостью к замкнутой светогеодезической В частности, при выполнении условия (50)

Рассмотрим вопрос об устойчивости описанных выше круговых орбит заряженных частиц в экваториальной плоскости. Для устойчивости в радиальном направлении необходимо, чтобы Результирующее условие может быть представлено в двух эквивалентных формах

Рис. 4. Кривые отношения энергии к массе для круговых орбит при ларморовом (сплошные линии) и антиларморовом (пунктирные линии) вращениях

Отсюда ясно, что при движение устойчиво по радиусу независимо от величины магнитного поля и направления вращения, как это имеет место при При области устойчивости в радиальном направлении для ларморова и антиларморова вращений различны, поскольку при заданных значения энергий, которые необходимо подставить в (55), не совпадают. При достаточно больших вращение, соответствующее значению энергии устойчиво вплоть до вращение с энергией устойчиво вплоть до горизонта. В частности, существует устойчивая антиларморова орбита, для которой дефект массы задается формулой (53).

Для исследования устойчивости в вертикальном направлении в уравнении Гамильтона — Якоби произведем разложение по углу вблизи плоскости

Собрав члены, пропорциональные приведем соответствующий вклад к виду

Принимая во внимание выражение (47) для частот, нетрудно убедиться в том, что величина в квадратных скобках равна таким образом, является положительной независимо от энергии и направления вращения. Это означает, что движение в приближении малых колебаний вертикально устойчиво при всех допустимых

В случае вращающейся черной дыры, погруженной в (слабое) однородное магнитное поле, круговые орбиты заряженных частиц в экваториальной плоскости также удается исследовать аналитически. Отличные от нуля компоненты максвелловского тензора пробного однородного магнитного поля можно получить из (2.45), полагая (см. также [75]). Переходя к координатам Бойера — Линдквиста, будем иметь

Для описания орбит заряженных частиц в этом случае удобнее воспользоваться непосредственно уравнениями движения

Принимая во внимание отмеченные в § 1 свойства симметрии символов Кристоффеля для метрики Керра и компонент тензора поля (58), нетрудно прийти к выводу, что в плоскости возможно круговое движение. При этом уравнения (59) с удовлетворяются тривиально, а уравнение с приводит к следующему выражению для угловой скорости вращения:

где циклотронная частота определена по-прежнему как и величина равна

Два знака в (60) соответствуют прямому и обратному вращениям по отношению к направлению вращения черной дыры. Для медленно вращающейся дыры в случае, когда сила Лоренца является доминирующей, из (60) найдем

Положительный знак отвечает антиларморову вращению, при как видно из (62), оно становится невозможным. Нижняя строчка в (62) соответствует ларморову вращению, переходящему в обычное циклотронное вращение при

Покажем возможность негеодезического движения заряженных частиц по ультрарелятивистским круговым орбитам, удаленным от круговой изотропной геодезической. Для этого выразим энергию частицы через частоты

Из условия имеем

откуда при

Подставляя (65) в (63), нетрудно видеть, что 1 либо в случае, когда знаменатель (63) стремится к нулю при что соответствует фотонной орбите (16), либо в случае т. е. когда сила Лоренца является основной (ларморово вращение). Таким образом, хотя при уже не удается выразить энергию как функцию радиуса орбиты в явной форме, из этих рассуждений следует, что вращение дыры не изменяет качественно характера ультрарелятивистских орбит заряженных частиц по сравнению со шварцшильдовым случаем.