Нулевые моды

Как было впервые показано Джэкивом и Ребби [244], для регулярного магнитного монополя Полякова-т’Хоофта в пространстве Минковского существуют нетривиальные решения с нулевой частотой. Эти решения нормируемы и должны быть включены в полную систему классических мод при вторичйом квантовании теории. Поскольку добавление фермнона в состоянии с нулевой энергией состоянию монополя не изменяет полной энергии системы, ее наинизшее энергетическое состояние оказывается вырожденным и ему следует приписать дробное фермионное число (так, чтобы разность фермионных зарядов вырожденных состояний вакуума равнялась единице).

Нулевые фермионные моды для монополя т’Хоофта-Полякова шозяикают благодаря существованию «безбарьерных» решений радиальной части уравнения Дирака, аналогичных рассмотренным выше при обсуждении испарения дайона. Такие моды существуют и для черных дыр, обладающих магнитным зарядом, и, как было обращено внимание в работе [245], это могло бы приводить к аналогичным выводам о фермионной структуре для черных дыр. Покажем, однако, что такие решения в случае черных дыр, хотя и существуют и всюду регулярны, не могут быть интерпретированы в духе Джекива-Ребби, так как соответствующий нормировочный интеграл расходится.

Рассмотрим радиальные уравнения (73) при для собственного значения (угловые функции тогда определяются «формулами

Нетрудно убедиться в том, для существуют убывающие на бесконечности и регулярные на горизонте событий точные решения системы (119)

где введена переменная Такие решения регулярны на горизонте, если только функция не имеет в этой точке двойного нуля, что имеет место для экстремальной рейсснер-нордстремовской дыры. Подставим полученные решения в: нормировочный интеграл

При переменная остается конечной, поэтому интеграл (121) расходится на нижнем пределе. Интересно отметить, что аналогичный интеграл для кирального заряда остается конечным