§ 7. РАЗДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕННЫХ

Уравнение Тьюкольского

Операторы входящие в уравнения (6.93), (6.94) для электромагнитных и (6.33), (6.34) для гравитационных возмущений поля Керра с учетом коммутаторов (4.39) — (4.41) и явного вида принимают вид

Если ввести вместо оператора Даламбера для безмассового скалярного поля оператор

то всю совокупность волновых уравнений для возмущений поля Керра безмассовыми полями различного спина сведем к единому уравнению

где скалярное поле,

и источники имеют вид

Подставляя явные выражения для операторов (4.34) — (4.37), получим уравнение, построенное впервые Тьюкольским [9] для :

(позже была доказана его справедливость и для безмассового гравитино, Замечательным свойством этого уравнения является возможность полного разделения переменных; помимо рассматриваемой системы координат, это можно сделать и в любой другой системе, связанной с координатами Бойера — Линдквиста преобразованиями где произвольные функции [9].

Возможность разделения переменных связана с существованием трех независимых операторов, коммутирующих с именно а также оператора

обобщающего К (4.51) на случай

Выделяя собственные функции операторов будем иметь набор мод

На множестве решений вида (9) операторы (4.34), (4.37) принимают форму

где та, Подставляя (11) в (8) и сравнивая с уравнением Дополнения, нетрудно убедиться в том, что сужение оператора (8) на множество мод (9) имеет в качестве собственных функций (для всех спиновые сфероидальные функции

где собственное значение нумеруемое парой целых (в случае целых чисел В случае

причем, очевидно, Это соотношение выполняется и при так как замена на при одновременном преобразования не меняет уравнения (12)

(Подробнее свойства спиновых сфероидальных функций и соответствующих собственных значений обсуждаются в Дополнении.) Вводя спиновые сфероидальные гармоники

образующие полную ортонормированную систему функций на единичной сфере при получаем набор мод, характеризуемых тремя индексами

где радиальные функции. На множестве мод (16) оператор Тьюкольского сводится к следующему радиальному оператору:

где оператор

(штрихом здесь и далее будет обозначаться производная по

Аналогичным образом построим сужение семейства операторов на множество функций (9)

которое обладает свойством что совместно с (14) дает

Для радиального оператора (18) замена эквивалентна комплексному сопряжению плюс преобразование первого слагаемого

Поэтому если собственная функция оператора (17) с нулевым собственным значением

то собственной функцией будет также

При замене на следовательно,

Учитывая (20), а также вещественность имеем

откуда следует, что наряду с собственной функцией (22) будет

Симметрия ...

Оператор, комплексно-сопряженный оператору Тьюкольского, очевидно, будет иметь в качестве собственных функций, принадлежащих нулевому собственному значению, функции, комплексно-сопряженные к (16), либо (заменяя , с учетом и (26)) вид произведения Поэтому потенциалы Дебая, удовлетворяющие уравнению (6.51) в результате разделения переменных представляются в виде разложения по модам вида

где некоторое решение уравнения (22). Индекс соответствует четности возмущения. Условимся нормировать радиальные функции так, чтобы

тогда в силу соотношения для угловых функций имеем

Заметим, что при инверсии координат

поэтому полные потенциалы Дебая, удовлетворяющие дополнительному условию (6.60), должны иметь следующее разложение по модам:

где символом суммы обозначена операция

Введем далее комплексные моды вакуумных возмущений метрики

и электромагнитного 4-потенциала

или, в безындексной форме,

где при при (аналогично для от следует считать равным единице. В силу построения величины являются комплексными решениями вакуумных уравнений Эйнштейна при (в линейном приближении) уравнений Максвелла без источников (при и свободного уравнения Даламбера при Вещественные решения с определенной: четностью получаются взятием действительной и мнимой частей потенциалов (6.43) и (6.87) для соответственно. Обозначая символом оператор при (см. (6.26) и (6.27) и оператор при (см. (6.80) и (6.81)) и используя точку для обозначения операции свертывания по индексам, например -можем записать выражения для в. общем виде:

где фазовый множитель учитывает появление мнимой единицы при взятии мнимой части .

Покажем, что угловая часть выражения под знаком суммы в (36) действительно сводится к спиновым сфероидальным функциям независимо от выбора Для «диагонального» случая в (36) это следует непосредственно из определения (27) и операторных соотношений (6.67), (6.68).

Для «недиагональных» выражений имеются вклады от второго слагаемого в (36), и для приведения к однородной форме необходимо воспользоваться соотношениями (28) для радиальных функций и для угловых. Воспользовавшись операторными равенствами (6.70) и формулами для угловых функций с противоположными получим

где введена постоянная

коэффициент в формулах, связывающих между собой . Сравнивая разложения (37) с (39) и (38) с (40), находим связь между радиальными функциями с противоположными значениями индекса

Эти соотношения аналогичны полученным в [89, 109]. Можно показать, что последние вытекают из (42), (43) при определенном выборе линейной комбинации решений (38) и (37) с различной четностью. Положим

где величина С совпадает с введенной в [89]:

Учитывая легко проверяемое соотношение

из формул (42) и имеем

Следует отметить, что эти соотношения между радиальными функциями относятся к возмущениям метрики, не имеющим определенной четности. Существует другая пара комбинаций решений с определенными для которой выполняются соотношения (48) и (49) с заменой Это вытекает из инвариантности пропорции (47) относительно такой замены.

Случай электромагнитных возмущений проще, поскольку соотношение между и является линейным и не содержит комплексно-сопряженных величин. Подставляя (34) в (36) и учитывая операторные тождества (6.90), найдем для диагонального случая

Недиагональные выражения (36) с также не содержат вклада от второго (комплексно-сопряженного) слагаемого в (36), и с помощью формул находим

Из сопоставления (50) с (32) и (51) с (53) получаем

куда в отличие от (42), (43) входят одинаковые константы пропорциональности являющиеся вещественными (см. . Поэтому стандартные соотношения [89, 109] между радиальными функциями, входящими в разложения совпадают с (54)

и (55) и выполняются для мод определенной четности в отдельности. Это неудивительно, поскольку соотношения следуют непосредственно из формул (5.27) и (5.28), линейно связывающих между собой.