ДОПОЛНЕНИЕ. СПИНОВЫЕ СФЕРИЧЕСКИЕ, СФЕРОИДАЛЬНЫЕ И РОДСТВЕННЫЕ ИМ ФУНКЦИИ

Разделение переменных в волновых уравнениях безмассовых полей различного спина в метрике Керра приводит к угловым функциям, являющимся решениями дифференциального уравнения»

причем собственное значение задается двумя целыми или; полуцелыми числами при целом полуцелом соответственно, у — вещественный параметр [9]. Связь с введенной в гл. II константой разделения X выражается соотношением

Регулярные решения уравнения существуют при Для уравнение сводится к уравнению для сплюснутых сфероидальных функций [93], решения которого хорошо изучены [312]. При переходит в уравнение для спиновых сферических функций [310], возникающих при описании безмассовых полей в пространстве Минковского методом изотропной тетрады Ньюмена-Пенроуза [48].

Спиновые сферические функции

В трехмерном евклидовом пространстве введем сферические координаты и тройку ортонормированных векторов направленных вдоль соответствующих координатных линий. Рассмотрим преобразования комплексных изотропных векторов касательных к единичной сфере, при повороте на угол в касательной плоскости: Ясно, что при таком преобразовании скаляр где некоторый вектор, умножится на проекция на комплексно сопряженный изотропный вектор умножится на Говорят, что есть величины спинового веса +1 и —1 соответственно. В общем случае некоторый скаляр называется величиной спинового веса если при описанном вращении репера он умножается на . В терминах стереографических координат на единичной сфере

операторы 8 и 5, заданные соотношениями

превращают величину спинового веса в величины веса соответственно. В обычных сферических координатах

при этом следует иметь в виду, что символом 5 обозначаются различные операторы типа в зависимости от спинового веса величины, на которую они действуют, например п.

Применяя -кратно оператор к сферическим функциям (имеющим спиновый вес нуль), получим спиновые сферические функции веса

(если для правой части написать разложение в ряд (см. ниже), то эта формула будет применима и при полуцелых в этом случае I также должны быть полуцелыми). Нетрудно проверить выполнение для следующих рекуррентных соотношений повышения и понижения спинового веса:

откуда следует, что являются собственными функциями оператора

Сравнивая это уравнение с находим собственные значения

При получаем обычные сферические функции. С помощью рекуррентных соотношений и уравнения можно свести функции высшего спинового веса (при целом к сферическим функциям и их первым производным, например

Зависимость функций от угла как и обычных сферических функций, дается экспоненциальным множителем:

Нормировочный коэффициент в выбран так, что

Спиновые сферические функции веса образуют полную систему функций на единичной сфере

причем суммирование по начинается от (рекуррентные соотношения зануляют гармоники с Отметим также полезное соотношение

Переписав в терминах координат получим

Приведем также значения и ее первой производной при :

Обсуждение связи спиновых сферических функций с -функциями Вигнера можно найти в [310].