Потенциалы Дебая и возмущения полей

Комплексные потенциалы в лоренцевой калибровке можно построить, применяя

изложенный в § 6 метод к укороченным операторам (12), (19):

Явные выражения для операторов следуют из формул (6.64) и (6.88) в результате замены (11) векторов тетрады. Учитывая, что полевые функции с Противоположными связаны простым соотношением (25), достаточно ограничиться

Дальнейшая задача состоит в отыскании потенциалов Дебая в области вне локализации источников по известным полевым функциям найденным с помощью (57). Здесь не следует использовать разложения по сфероидальным функциям. Вместо этого, воспользовавшись формулами (5.36) и (6.72), запишем

Учитывая явный вид операторов (26), имеем

Обращение этих формул дает

где введены обратные операторы

При интегрировании появляются неопределенные функции радиальной координаты которые следует выбрать так, чтобы построенные потенциалы Дебая правильно воспроизводили скаляры. а также соответствовали граничным условиям для искомых полей

Если первые слагаемые в (65), (66) приводят к правильным решениям для то этот произвол переносится на функции последние также не должны изменять откуда следуют условия

для электромагнитного поля (последнее вытекает из (5.35)), и

для гравитационного. В последнем случае имеются также условия на которые должны обеспечить физические значения вейлевских скаляров . С физической точки зрения произвол в выборе потенциалов Дебая связан с возможностью изменения параметров черной дыры (заряда, массы и углового момента), что сказывается на величинах однако не изменяет Таким образом, при минимальном определении обратных операторов в указанном выше смысле добавки призваны учесть возможное малое изменение параметров черной дыры.

Рассмотрим в качестве примера случай электромагнитных возмущений, которые полностью описываются тремя скалярами . В силу (69), (70) потенциал Дебая дает нулевые однако величина вообще говоря, отлична от нуля. Это соответствует возможности сообщения черной дыре (малых) электрического и магнитного зарядов

Из уравнения (69) следует, что можно представить в виде

Поскольку уравнение (70) означает, что являются линейными функциями

Подставляя (74) в формулу (5.37), для получим

при этом постоянные остаются неопределенными. Сопоставляя (76) с (73), для двух (комплексных) постоянных находим

Обратимся теперь к вычислению компонент 4-потенциала (57). Прежде всего отметим, что потенциал как следует из (59), имеет лишь две отличные от нуля компоненты

Поскольку являются функциями только и 0, потенциал (78) в метрике Керра удовлетворяет калибровочному условию Лоренца

Потенциал в рассматриваемой калибровке отличается от (5.45) градиентным преобразованием

где

причем, очевидно, совпадает с потенциалом Дебая введенным в § 5).

Компоненты комплексного 4-потенциала, отвечающего кулоновскому потенциалу Дебая (79), равны

Как видно из (84), постоянная определяет значение нулевой компоненты потенциала при Чтобы сделать его равным нулю, достаточно положить Чтобы избежать возрастания при целесообразно выбрать также Наконец, постоянная не входит ни в выражение (76) для ни в формулы для 4-потенциала, поэтому можем положить Окончательно с учетом равенства (77) найдем кулоновский потенциал Дебая

который соответствует монопольным электрическому и магнитному полям.

Комплексный потенциал горизонта, соответствующий (84), (85), как и следовало ожидать на основании общих теорем, является постоянным

его вещественная часть — электростатический потенциал — совпадает с (1.24), мнимая часть описывает магнитостатический потенциал магнитного заряда

Точечный заряд на оси симметрии

Рассмотрим пример заряженной частицы, удерживаемой в покое в точке на оси симметрии поля Керра. Соответствующая плотность тока равна

(е - электрический, магнитный заряды).

Подставляя (88) в выражение для источника и далее в (57) и учитывая, что при координата в (54) обращается в нуль (интеграл в (54) становится тривиальным), получаем для простое выражение

где вычислены в точке

В соответствии с алгоритмом, сформулированным в предыдущем разделе, далее нужно построить такое частное решение для потенциала Дебая, которое приводит к величине связанной с

соотношением (10). Это осуществляется с помощью легко проверяемых соотношений

из которых следует, что в указанном выше смысле

К этому выражению следует добавить кулоновский член общего вида (74), что дает

и далее найти коэффициенты исходя из асимптотического поведения на бесконечности, где должно быть кулоново поле заряда и доопределения калибровки 4-потенциала, вычисляемого с помощью При

и мы получаем

где новые линейные функции причем

Учитывая соотношение (77), находим, что построенное решение действительно будет отвечать полному заряду при выполнении условий

Соответствующие асимптотические выражения для компонент комплексного 4-потенциала будут иметь вид (84), (85), где следует заменить коэффициенты на штрихованные. Во избежание возрастания потенциала на бесконечности следует положить , наконец, согласно Полный потенциал

Дебая с учетом кулоновской добавки принимает вид

При при опускании заряда в черную дыру, имеем

и полный потенциал Дебая (99) принимает вид (86) для заряда Таким образом, конфигурация электромагнитного поля при приближении заряда к горизонту событий непрерывно переходит в соответствующую конфигурацию для заряженной черной дыры.

Подставляя выражение в (79) и (80), находим компоненты комплексного 4-потенциала

Отделив вещественную часть, получим при потенциал точечного заряда, найденный в работах [122—123], где была исправлена формула Копсона [127] (в [127] не было учтено первое слагаемое, пропорциональное происходящее от кулоновской добавки к потенциалу Дебая). В отличие от формул, приведенных в [122—123], комплексный потенциал, найденный выше, порождает самодуальный максвелловский тензор (5.1). При этот потенциал описывает поле магнитного монополя.

Вычислим значение комплексного потенциала горизонта событий (87), отвечающее заряду в точке Поскольку величина не может зависеть от угла (см. § 1), можно одновременно положить тогда в результате находим

т. е. точечный заряд создает на горизонте такой же потенциал, какой создавала бы заряженная дыра с тем же значением заряда