Возмущения при наличии источников

Перейдем к построению возмущений скалярного и электромагнитного полей и метрики пространства-времени при наличии внешних источников. Если для полного описания вакуумных (бестоковых) возмущений достаточно построить потенциалы Дебая, с помощью которых легко восстанавливаются как потенциалы так и полевые величины то при наличии источников полное решение уже нельзя построить таким образом, что очевидно уже из подсчета степеней свободы поля

Однако если источники сосредоточены в компактной области пространства, то удается отыскать возмущения, генерируемые источниками вне этой области, т. е. там, где возмущения по-прежнему являются вакуумными (бестоковыми).

Исходя из неоднородного уравнения Тьюкольского (4), можно построить уравнение для радиальной части потенциалов Дебая с источниками. Для этого достаточно воспользоваться «недиагональными» формулами (39), (40), (52), (53) для величин выражающими их непосредственно через радиальные части соответствующих потенциалов Дебая. Подставляя (39) и (40) в (4) и записывая источник в виде аналогичного разложения

для радиальных функций имеем уравнение

Аналогичное уравнение для случая электромагнитных возмущений получим в результате подстановки разложений (52), (53) в (4)

Величины отвечают разложению проекций источников с определенной четностью

где — оператор инверсии (множитель добавлен в соответствии с Для получения полного потенциала Дебая возмущения с данной четностью необходимо просуммировать по индексам . В случае скалярного поля уравнение аналогичного вида непосредственно определяет четные и нечетные возмущения поля (мы сохраним обозначения, принятые для потенциалов Дебая при и для

Переходя к функции согласно (56) и черепашьей координате запишем и (89) в единой форме

где источник получается умножением правых частей (86), (87) и (89) на величину

Решение уравнения (90) строится методом вариации постоянных с помощью двух независимых решений однородного уравнения с подходящими граничными условиями. Физическое (запаздывающее) решение уравнения Тьюкольского получим, если выберем в качестве таких решений и (67), первое из которых

регулярно на горизонте, а второе — на пространственной бесконечности

где вронскиан:

Подставляя сюда явные выражения для решений получим

Произведение постоянных остается пока неопределенным, и конкретный выбор можно сделать так, чтобы получить более простое выражение для функций Грина в терминах потенциалов. Заметим, что, хотя формула (92) справедлива всюду, включая и область локализации источника нельзя утверждать, что потенциалы Дебая с радиальной функцией (92) будут давать правильные выражения для возмущений метрики и 4-потенциала электромагнитного поля всюду. Однако если функции имеют компактный носитель, например

где то в областях с помощью (92) можно восстановить полностью искомые возмущения потенциалов поскольку в этих областях возмущения подчиняются уравнениям без источников. Для этой цели удобно построить так называемые факторизованные функции Грина [113], идея которых восходит к работам [94, 98].