§ 19. МАССИВНОЕ СКАЛЯРНОЕ ПОЛЕ

Рассмотрим массивное скалярное поле, обладающее электрическим зарядом, на фоне абелева решения Керра — Ньюмена — де Ситтера.

Действие для массивного заряженного скалярного поля с минимальной связью имеет вид

что приводит к полевому уравнению

Из инвариантности действия относительно локального изменения фазы вытекает сохранение тока:

Для двух решений уравнения (2) введем скалярное произведение

где — некоторая пространственно-подобная гиперповерхность и полуторалинейная форма, диагональная часть которой совпадает с сохраняющимся током (19.3)

Как в плоском пространстве-времени, скалярное произведение (4) для уравнения Клейна — Гордона не является положительно определенным.

В рассматриваемом случае аксиально-симметричных и стационарных полей фона сохраняются также токи (векторные плотности)

где векторы Киллинга. В формуле метрический тензор энергии-импульса,

связанный с каноническим тензором соотношением

Разделение переменных

Дифференциальные операторы так же, как и в случае безмассового скалярного поля (§ 4), коммутируют с оператором Клейна — Гордона (и эрмитовы по отношению к скалярному произведению Поэтому решение уравнения (2) с заданными собственными значениями и этих операторов будет иметь вид

При подстановке (8) в (2) удобно представить оператор в левой части уравнения в формализме Ньюмена — Пенроуза, выбирая в качестве базиса изотропную тетраду (18.45). Учитывая явный вид спиновых коэффициентов (18.46) и тетрадных проекций 4-потенциала (18.48), для будем иметь уравнение

где

— операторы, обобщающие (7.10), (7.11) и переходящие в последние при Нетрудно заметить, что первый оператор в круглых скобках в левой части уравнения (9) зависит только от второй — только от , а последнее слагаемое имеет вид суммы функций от ; поэтому переменные в (9) разделяются при этом угловая функция удовлетворяет уравнению

— собственное значение. Решения этого уравнения известны при некоторых частных значениях входящих в него параметров. При (либо при решением (11) являются спиновые сферические функции со спиновым весом и проекцией орбитального момента . В случае будем иметь сфероидальные функции Если решением (11) будут спиновые сфероидальные функции Соответствующие собственные значения можно получить с помощью формул, приведенных в Дополнении. Заметим, что минимальное значение орбитального квантового числа не может быть меньше

Радиальное уравнение, вытекающее из (19.9), имеет вид

где Вводя «черепашью» координату с помощью соотношения при при а также новую радиальную функцию приведем (12) к виду уравнения Шредингера

с эффективным потенциалом

переходящим в (4.67) при Потенциал (14) принимает постоянные значения на горизонтах

где электростатический потенциал горизонтов. Поэтому в окрестностях горизонтов линейно независимые решения радиального уравнения (13) имеют вид

В случае потенциал (14) при стремится к постоянному значению

поэтому частица может уходить на бесконечность при и асимптотически расходящиеся и сходящиеся волны описываются решениями

Отметим, что на горизонтах событий частица ведет себя как безмассовая, масса не входит в асимптотические выражения (16). Напротив, в промежуточной области влияние массы существенно: при потенциал (14) имеет локальный минимум, отвечающий возможности существования квазисвязанных состояний массивной частицы в окрестности черной дыры (рис. 16).

Рис. 16. Эффективный потенциал в радиальном уравнении для массивного скалярного поля в метрике Керра-Ньюмена- де Ситтера

В окрестности космологического горизонта событий (при условии поведение эффективного потенциала в случае описывается формулой

При одним из собственных значений является если при этом масса частицы удовлетворяет условию то правая часть (19.19) может стать отрицательной (в частности, это имеет место при Такое поведение характерно для минимально связанного скалярного поля. В случае конформной связи (4.6) величина всюду неотрицательна [271].