«Цветные» черные дыры

Рассмотрим некоторую алгебру Ли, порождаемую набором эрмитовых матриц удовлетворяющих перестановочным соотношениям

где — структурные константы. В соответствии с калибровочным принципом будем считать, что эта алгебра задает группу локальных преобразований симметрии для некоторого поля преобразующегося по одному из неприводимых представлений группы

где параметры зависят от пространственно-временных координат. Пусть оператор ковариантного дифференцирования (в смысле метрики пространства-времени) поля Тогда оператор

где элемент алгебры Ли (поле Янга — Миллса)

при калибровочном преобразовании (6) будет изменяться по закону

«ели калибровочное поле преобразуется согласно правилу

Введем соответствующий полю тензор напряженностей как

коммутатор (рассматриваемый на множестве пространственно-временных скаляров) производных (7)

или в компонентной записи где

Тензор очевидно, преобразуется при локальном преобразовании (6) как оператор т. е.

Замена в лагранжиане Эйнштейна — Максвелла электромагнитного поля набором безмассовых калибровочных полей приводит к калибровочно-инвариантному лагранжиану

где инвариантная метрика на группе внутренней симметрии. Варьируя лагранжиан (14), получаем калибровочно-инвариантные уравнения поля

и уравнения Эйнштейна, содержащие в правой части тензор энергии импульса поля Янга — Миллса

Для компонент дуального тензора в отличие от случая электродинамики, уравнения также неоднородны

Нетрудно заметить, что если выбрать потенциалы «параллельными» во внутреннем пространстве, т. е. где коэффициенты не зависят от координат, то выражение (16) сведется к тензору электромагнитного поля умноженному на постоянную которую можно положить равной единице. Одновременно в формулах (15) и (17) обращаются в нуль нелинейные члены в правых частях (поскольку и уравнения поля Янга — Миллса становятся линейными и совпадающими с уравнениями Максвелла без источников. Поэтому решение системы уравнений Эйнштейна — Янга — Миллса с «параллельными» внутреннем пространстве полями всегда можно построить, если:

известно соответствующее решение системы уравнений Эйнштейна — Максвелла [252]. Таким путем строятся решения, описывающие «цветные» черные дыры [33]: метрика совпадает с метрикой Керра — Ньюмена (1.1) с точностью до замены

где цветовые электрические и магнитные заряды, а поля Янга — Миллса задаются 1-формами

Это решение, как и его максвелловский прототип (1), имеет особенность в виде струны Дирака. Аналогичные решения можно построить при отличной от нуля космологической постоянной [253].