ГЛАВА V. СИНХРОТРОННОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ РЕЛЯТИВИСТСКИХ ЧАСТИЦ

Основные результаты классической и квантовой теории синхротронного излучения (СИ), в создании которой основополагающее значение имели работы Д. Д. Иваненко и А. А. Соколова [191], А. А. Соколова, И. М. Тернова, Ю. Швингера и др. [192-196], изложены в целом ряде монографий и учебников [20, 197— 199]. Развитие теории СИ в последующие годы было связано с исследованием эффекта радиационной самополяризации спинов электронов в магнитном поле [200—202, 20, 197—199] изучением вынужденных переходов в магнитном поле [203—206], экспериментами с мегагаусс-мишенью [207—208], астрофизическими приложениями (излучение при движении под малым углом к силовым линиям в сильном магнитном поле) [201, 209], проблемой создания устройств для генерации интенсивного излучения с целью применения в физическом эксперименте [210—212], изучением квантовоэлектродинамических процессов высшего порядка, генетически связанных с СИ [213], и т. д. (более полный список литературы можно найти в [199]).

В этой главе будет развита теория СИ релятивистских заряженных частиц, движущихся по негеодезическим орбитам в пространстве-времени Шварцшильда и Керра [64, 76, 214—215], а также дано ее обобщение на случай произвольного медленно изменяющегося гравитационного поля [216—217]. Предварительно (§ 13) рассматриваются некоторые вопросы теории СИ в плоском пространстве-времени, представляющие интерес для последующих обобщений на искривленное пространство-время.

§ 13. МУЛЬТИПОЛЬНОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ СИ; ВЛИЯНИЕ РАДИАЦИОННОГО ТРЕНИЯ; КВАНТОВЫЕ ЭФФЕКТЫ

Традиционное описание СИ [20] строится на основе разложения поля излучения по плоским волнам. В случае искривленного пространства-времени, содержащего черную дыру, плоские волны не отвечают симметрии задачи, и вместо этого осуществляется разложение полей по спиновым сферическим гармоникам. Такое описание синхротронного излучения полезно сначала осуществить в пространстве Минковского. Распределение излучения по мультиполям является «дополнительным» к угловому распределению.

В случае нерелятивистских частиц испускание высших мультиполей подавлено, это находит свое отражение в отсутствии резких максимумов в угловом распределении. Для ультрарелятивистских частиц существенно именно испускание высших мультиполей, с этим можно связать сужение конуса, в который излучают быстрые частицы около направления вперед [218].

Формализм изотропной тетрады в пространстве-времени Минковского

Разложение электромагнитного поля по мультиполям наиболее просто проводится в формализме Ньюмена — Пенроуза [48— 51]. Введем комплексное векторное поле

где напряженности электрического и магнитного полей, и рассмотрим проекции вектора на единичный вектор в радиационном направлении а также комплексные проекции

где сферические орты. В результате преобразования системы уравнений Максвелла (включая однородные уравнения, не содержащие плотности заряда и тока) получим систему из 4 уравнений для 3 комплексных функций

где операторы при плотность заряда: проекции плотности тока.

Преимущество использования комплексного векторного поля состоит в возможности получения разделенных уравнений для проекций Заметим, что в силу поперечности электромагнитного поля для полного описания излучения в волновой зоне достаточно знать одну из комплексных проекций, например Действительно, для расходящихся волн на большом расстоянии от источника выполняются соотношения т. е. . С помощью системы (3) нетрудно получить уравнение, которому удовлетворяет функция Для этого подействуем на второе уравнение из системы (3) оператором а на третье — оператором затем полученные уравнения вычтем одно из другого. В результате для функции будем иметь

где Разделение переменных в уравнении (4) осуществляется путем разложения

по спиновым сферическим гармоникам Радиальная функция при этом подчиняется дифференциальному уравнению

запаздывающее решение которого может быть представлено в виде

Здесь — два линейно независимых решения соответствующего однородного уравнения, первое из которых регулярно в точке а второе представляет при расходящуюся волну; вронскиан, составленный из этих решений. Решения выражаются через вырожденную гипергеометрическую функцию (функции Бесселя и Ханкеля):

при этом вронскиан

Распределение мощности СИ по мультиполям

Для случая движения заряда по круговой траектории радиуса с угловой скоростью в плоскости, ортогональной полярной оси, находим [218]

Введем мультипольные параметры Стокса , на основании соотношения

где матрицы Паули. Полная мощность излучения при этом будет равна

Определяя компоненты электрического поля из разложения (13.9), находим

что свидетельствует об отсутствии круговой поляризации проинтегрированного по углам излучения мультиполя с заданными Отличные от нуля параметры Стокса определяются формулами

в которых значения сферических функций и их производных при следует взять из .

Нетрудно показать, что мультипольное разложение излучения нерёлятивистской частицы быстро сходится:

В случае ультрарелятивистского движения основной вклад в излучение дают мультиполи с Чтобы убедиться в этом, достаточно воспользоваться асимптотическими разложениями бесселевых функций при больших значениях индекса в терминах функций Макдональда [197]. Вводя обозначения

будем иметь (считаем

Ввиду быстрого убывания функций Макдональда при больших значениях аргумента эффективная область изменения

простирается до значений порядка а область изменения числа I ограничена неравенством

Существует простое соотношение между угловым распределением излучения ультрарелятивистской частицы, усредненным по азимутальному углу, и распределением излучения по мультиполям. Вычислим среднее значение по спиновым сферическим гармоникам при

Видно, что при фиксированном значении номера гармоники излучение мультиполя с заданным I (т. е. согласно (16) с заданным отвечает определенному среднему значению угла излучения по отношению к плоскости орбиты, причем зависимость от I монотонна. Учитывая квазинепрерывность распределения по при больших значениях этих чисел, перейдем от суммирования к интегрированию по

Подставляя (13.17) и (13.18) в (13.21), будем иметь

Интегрирование (22) по приводит к известному выражению для полной мощности синхротронного излучения

Заметим, что хотя формула (22), выражающая распределение мощности излучения по мультиполям, внешне схожа с формулой для спектрально-углового распределения СИ [20], однако параметр в нашем случае имеет иной смысл (см. (13), (16)).

Полученное выше выражение (9) для электромагнитного поля заряда, движущегося по окружности, справедливо при всех Аналогичное выражение в терминах разложения по цилиндрическим функциям см. в [219].