Квазистационарные состояния

Так же, как и скалярные, дираковские частицы могут находиться в квазистационарных состояниях, локализованных в области классических финитных орбит, отделенной от черной дыры (и космологического горизонта) широким потенциальным барьером при выполнении условия Построим теорию таких состояний, ограничиваясь случаем Частица предполагается электрически заряженной, черная дыра может нести как электрический, так и магнитный заряды.

При выполнении условий (в геометрических единицах) уравнение для угловых функций сводится к уравнению для спиновых сферических гармоник При спиновый вес интересующих нас решений угловых уравнений (74) будет равен (см. (102)), причем таких решений при заданных будет две пары, соответственно положительным и отрицательным значеням

Величину можно использовать в качестве квантового числа, характеризующего сложение орбитального и спинового моментов. Если то справедлива формула (76) и

отвечает сумме моментов разности При отличных от нуля аналогичную пару состояний можно различать знаком

Обратимся теперь к радиальному уравнению (82). При его решения можно построить аналитически, сшивая решения в трех областях: а) Если (считаем величиной порядка или большей единицы), то при эти области перекрываются. В случае скалярного поля сшивание решений проводилось без промежуточной области б), здесь это невозможно из-за дополнительной особенности в радиальном уравнении (82) в точке Идея построения приближенных решений, справедливых каждое в заданной области, сводится к отысканию такой замены функции, которая приводит к уравнению, содержащему не более трех особых точек; при этом в областях б) и в) получается гипергеометрическое уравнение, а в а) — вырожденное гипергеометрическое уравнение. Начнем с дальней области а), в которую, в частности, попадает и классическая потенциальная яма. После замены радиальной функции для получаем, как и в скалярном случае, уравнение Уиттекера (49.37), причем параметр по-прежнему определяется формулой (19.42), а второй параметр функции Уиттекера равен

Итак, в области а) имеем

что при согласно (19.38), дает

где некоторые постоянные. Для получения решения в промежуточной области б) введем комплексную переменную оставляя главные в рассматриваемом интервале члены, представим уравнение (82) в виде

Решения (113) выражаются через гипергеометрические функции

Воспользовавшись формулами Куммера, нетрудно убедиться в том, что при больших это решение имеет асимптотику (112)

и, следовательно, сшивается с решением (111). При малых очевидно, имеем

где некоторые новые постоянные. Наконец, в области в) удобно использовать переменную х, вводимую соотношением (19.45), и сделать подстановку (19,46). Выбирая в качестве а и различные комбинации значений

получим общее решение в области в) в виде

Поскольку гипергеометрическая функция симметрична по первым двум индексам, выражение (117) не изменяется при замене т. е. фактически определяется абсолютной величиной . С другой стороны, квазистационарные состояния при как следует из оценок и вычислений, проведенных в § 19, имеют нерелятивистский характер, поэтому и из (110) с достаточной точностью найдем

Асимптотика (117) при совпадает с (115), т. е. это решение сшивается с промежуточным решением (114). Вблизи горизонта (117) является суперпозицией выходящей и входящей волн, причем амплитуда падающей на черную дыру волны (второе слагаемое) в соответствии с общими свойствами решений радиального уравнения (см. ) стремится к нулю. Первый член в -волна, выходящая из черной дыры. Условие, определяющее комплексные энергии квазисвязанных состояний, заключается в равенстве . В результате ошивки (111) и (114) при , а затем (114) и (117) при последовательно определяем постоянные Решение уравнения снова ищем в виде (19.44) и в основном приближении получаем кулоновский спектр (19.56). Поправка будет иметь несколько различный вид в зависимости от знака :

где верхняя строка отвечает , а нижняя - Поправка к энергий вычисляется по формуле (19.59) (при нуакно заменить и является комплексной величиной, т. е. Описывает сдвиг и затухание уровней. Сдвиг уровней исчезает при в этом случае формула (118) согласуется с результатами, полученными в [308]. В отличие от случая бессриновой частицы Мнимая часть энергии не меняет знака при т. е. суперрадиационное возбуждение фермионных уровней, как и следовало ожидать, невозможно. Тепловое заполнение фермионных состояний вокруг черной дыры было рассмотрено в работе [283].