§ 9. ОДНОРОДНОЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ

Векторы Киллинга и потенциалы

Если в выражении (8.891) для скаляра описывающего поле точечного заряда на оси симметрии, совершить предельный

переход сохраняя постоянным отношение

то мы получим конечную величину, соответствующую постоянным и однородным электрическому и магнитному полям, направленным вдоль оси симметрии

Непосредственным интегрированием соотношения (8.61) с учетом равенства (8.10) находим потенциал Дебая

Далее с помощью формул (8.79), (8.80), получаем отличные от нуля компоненты комплексного 4-потенциала, генерирующего автодуальный бивектор

Можно показать, что эти величины тесно связаны с векторными полями Киллинга пространства-времени Керра. Рассмотрим случай чисто магнитного поля Тогда действительные части (4) и (5) равны

В этих выражениях нетрудно узнать линейную комбинацию компонент -форм Киллинга

факт, подмеченный Уолдом [142]. Это неудивительно, так как векторные поля Киллинга удовлетворяют в случае вакуумных метрик тем же уравнениям, что и 4-потенциал свободного электромагнитного поля в калибровке Лоренца (8.81). Действительно, свободные уравнения Максвелла в лоренцевой калибровке имеют вид

с другой стороны, из уравнений Киллинга находим

Уравнения (8) и (9), очевидно, совпадают при таким образом, векторы Киллинга можно рассматривать как 4-потенциалы некоторых свободных (бестоковых) максвелловских полей. Заметим, что для нахождения коэффициентов в линейной комбинации (7) можно воспользоваться формулами (2.57), (2.58), выражающими полную массу и заряд черной дыры в виде поверхностных интегралов. Представляя потенциал в виде

где постоянные, вычислим интеграл

Левая часть этого равенства равна где полный электрический заряд системы, а интегралы в правой части пропорциональны массе и угловому моменту черной дыры. В результате получаем уравнение

откуда при находим отношение коэффициентов совпадающее с соответствующим отношением в (7). Таким образом, линейная комбинация векторов Киллинга в общем случае генерирует суперпозицию однородного магнитного поля, направленного вдоль оси симметрии черной дыры и кулонова поля [144]:

Вращение черной дыры в однородном магнитном поле, направленном вдоль оси симметрии, приводит, благодаря фарадеевской индукции (см. § 2), к возникновению разности потенциалов между горизонтом событий и бесконечно удаленной точкой. Из выражения (13) видно, что на бесконечности в то время как электростатический потенциал горизонта (8.87) равен нулю. Таким образом, разность потенциалов

остается конечной и при отсутствии электрического заряда Заметим, что с помощью калибровочного преобразования

потенциал приводится к кулоновой форме При этом и разность потенциалов (14), разумеется, остается прежней. В кулоновой калибровке потенциал (15) сингулярен на горизонте событий однако это не

приводит к затруднениям, поскольку потенциал не является наблюдаемой величиной. Возникновение разности потенциалов между бесконечностью и горизонтом событий черной дыры, вращающейся в однородном магнитном поле, делает энергетически выгодной аккрецию заряда соответствующего знака [142] при наличии вокруг черной дыры плазмы. Процесс прекратится, когда аккрецированный заряд достигает величины

при которой Аналогичный эффект имеет место и для проводящей сферы, вращающейся а магнитном поле [158].

Заметим, что ни в одной системе отсчета поле не является чисто магнитным даже при Действительно, максвелловский тензор, соответствующий скалярам Ньюмена-Пенроуза поля

имеет псевдоскалярный инвариант

В локально-лоренцевой системе отсчета он равен скалярному произведению векторов электрического и магнитного полей. Заряженные частицы плазмы, движущиеся вдоль силовых линий магнитного поля, будут втягиваться в дыру или уходить на бесконечность в зависимости от знака инварианта (18). Исследование этого выражения показывает, что для положительно заряженные частицы будут преимущественно аккрецироваться в полярных областях, а отрицательные — в относительно узкой области вокруг экватора [75].

Компоненты однородного магнитного поля в локально невращающейся системе отсчета равны

где При электрическое поле исчезает, а компоненты магнитного принимают простой вид

На горизонте событий тангенциальная составляющая магнитного поля обращается в нуль.

Модель вращающейся черной дыры, погруженной в однородное магнитное поле, в последнее время привлекла большой интерес в астрофизике [145—151]. В этой модели существенно используется факт существования индукционной разности потенциалов (14).

Совершенно аналогично строится решение для асимптотики однородного электрического поля, направленного вдоль оси симметрии черной дыры. Вектор-потенциал, генерирующий дуальный тензор получается как мнимая часть (4), (5) при и совпадает с линейной комбинацией форм Киллинга

Повторяя рассуждения, которые привели к выражению (14) для разности электростатических потенциалов, найдем, что при вращении черной дыры, обладающей монопольным зарядом в однородном электрическом поле, параллельном оси симметрии, возникает разность магнитостатических потенциалов между горизонтом и бесконечностью

Компоненты электрического и магнитного полей в локально невращающейся системе отсчета можно получить из (19), (20) с помощью дуального поворота.

Асимметричное скрещенное поле

Представляет интерес рассмотреть случай однородного электромагнитного поля вокруг вращающейся черной дыры, не обладающего аксиальной симметрией. Поскольку при учете влияния такого поля на метрику эта конфигурация не может быть строго стационарной, следует ожидать в этом случае возникновения пондемоторных явлений. Построим потенциал Дебая для общего случая постоянных и асимптотически однородных электрического и магнитного полей. При соответствующие скаляры Ньюмена-Пенроуза должны иметь вид

где и выбрана декартова система пространственных координат с осью вдоль оси симметрии поля Керра, Нетрудно найти потенциал Дебая, порождающий поле (23) в соответствии с общими соотношениями

(напомним, что при отсутствии аксиальной симметрии операторы различны). В асимптотической области и прямым вычислением можно убедиться в том, что формулы (23), воспроизводятся при выборе потенциала Дебая в виде

Необходимо теперь построить точное решение уравнения (5.38) для стационарного случая

которое при имело бы асимптотический вид (25). Для этого можно воспользоваться общим методом разделения переменных, изложенным в § 7. В стационарном случае сфероидальные гармоники сводятся к сферическим. Разложение (25) фактически представляет собой сумму трех спиновых сферических гармоник с :

В соответствии с общим видом мод при (здесь мы не будем проводить явного разделения по четности) получим решение уравнения (26), согласующееся с (25), в форме

Радиальные функции, регулярные на горизонте событий при определяются формулами (7.128), что в нашем случае с точностью до нормировочных множителей дает

Сопоставляя формулы (27) — (29) с асимптотическим видом потенциала Дебая (25), находим решение уравнения (26) в форме, аналогичной (25):

Это выражение является обобщением потенциала Дебая (3), найденного для полей, параллельных оси симметрии. Подставляя его в формулы (24), находим тетрадные проекции максвелловского тензора

где В выражениях для можно узнать разложения по спиновым сферическим гармоникам веса

с Альтернативный путь получения этих формул состоит в отыскании решений уравнений Тьюкольского для сшитых с асимптотиками (23), и последующем построении исходя непосредственно из уравнений Максвелла.