Малые колебания около круговых орбит

Перейдем теперь к описанию орбит, близких к рассмотренным выше круговым орбитам. Одновременно решение этой задачи дает ответ на вопрос об устойчивости круговых орбит. Рассмотрим малые возмущения

около круговых орбит Проводя в уравнениях движения (59) разложение по перенося нелинейные члены в правую часть и переходя от параметра имеем

где учтено, что координаты циклические. В этой формуле

причем подстановка в (68) должна проводиться после вычисления производных от величины, стоящей в скобках (индекс нуль у величины о далее опускается). Символом в правой части (67) обозначены все нелинейные по члены, входящие в точное уравнение движения.

При малых решение уравнений (67) можно искать методом последовательных приближений. В линейном приближении будем иметь систему однородных линейных дифференциальных уравнений, два из которых не содержат членов без производных

Поскольку величины являются функциями только и 0 и принимают на невозмущенной траектории постоянное значение, можно проинтегрировать (69), выразив производные от возмущений временной и азимутальной координат через возмущение координаты

Учитывая соотношение (70) в уравнении (67) для получим отдельное уравнение для возмущения

описывающее свободные радиальные колебания около круговых орбит. Частота колебаний определяется из соотношения

(где подразумевается суммирование по значениям . Условие очевидно, является условием радиальной устойчивости круговых орбит. Заметим, что в рассматриваемой системе координат и при сделанном выборе параметров радиальные колебания сопровождаются осцилляциями азимутальной и временной координат согласно соотношению (70). Именно если

то

Колебания в направлении 0 (т. е. аксиальные) описываются уравнением (67) при (при этом

где частота определяется формулой

Условие определяет область устойчивости круговых орбит относительно возмущений, выводящих частицу из экваториальной плоскости.

Подставляя в формулы (72) и (76) явные выражения для символов Кристоффеля и компонент максвелловского тензора поля Керра — Ньюмена (1.5), (1.7), получим [76]:

где

и угловая частота кругового (невозмущенного) движения равна

Энергия частицы, движущейся по невозмущенной круговой орбите, выражается через следующим образом:

С помощью формул (77), (78) при получим известные условия устойчивости круговых геодезических в метрике Керра [73]:

Величина (83) положительна при для обоих направлений вращения, т. е. круговые геодезические в метрике Керра устойчивы относительно аксиальных возмущений. Границы радиальной устойчивости были найдены численно в работе [73] (см. также [77—79]).

В случае (т. е. метрики Рейсснера—Нордстрема) результаты (77), (78) совпадают с полученными в Кривые существования устойчивости и связанности круговых орбит для ненулевых значений обоих параметров а и приведены на рис. 5,а. Отметим, что с ростом электрического заряда границы существования и устойчивости смещаются в направлении горизонта как для прямого, так и обратного вращений пробных частиц.

Получим теперь выражения для частот радиальных и аксиальных колебаний заряженных частиц, движущихся вокруг вращающейся черной дыры, погруженной в (слабое) однородное магнитное поле. Для этого подставим в (68) и далее в (72) и (76) символы Кристоффеля (1.5) при и компоненты максвелловского тензора (58). В результате найдем

(кликните для просмотра скана)

Определяемые отсюда области устойчивости при совпадают х результатами предыдущего раздела. Анализ формулы (84) при показывает, что при достаточно большой величине магнитного поля область радиальной устойчивости, так же как и в шварцшильдовом случае, расширяется вплоть до горизонта событий.

В случае удается получить явные формулы для частот и при произвольных значениях магнитного поля (т. е. для метрики Шварцшильда — Эрнста). Используя символы Кристоффеля (2.8) и выражения (2.9) для компонент максвелловского тензора, найдем [81]

причем и частота обращения

Несовпадение частоты радиальных колебаний с частотой кругового движения имеет общую природу с эффектом прецессии полуосей эллиптических орбит. Действительно, пусть тогда возбуждение радиальных колебаний около круговой

орбиты эквивалентно квазиэллиптическому движению с углом поворота полуосей за период

Несовпадение частот соответствует в случае слабого поля прецессии Лензе — Тирринга (см. также [82]). При частоты «во и совпадают, в этом случае аксиальные колебания фиктивны и могут быть устранены координатным преобразованием, отвечающим повороту плоскости орбиты.

При учете нелинейных членов в правой части уравнения (67) возникает связь между орбитальным движением и колебаниями, а также между двумя типами колебаний. Если частоты становятся соизмеримыми, в системе появляются резонансы и характер движения может качественно измениться. На рис. 5, (У показаны положения резонансов целые числа, низших порядков 5, при различных значениях заряда поля Керра — Ньюмена определяются из (77), Эти кривые оказываются лежащими в области существования круговых орбит и частично в области устойчивости, определяемой в рамках линейного приближения.