Радиальные функции в приближении ВКБ

Поскольку движение является периодическим, для возмущений и порождающих эти возмущения источников следует воспользоваться разложениями в ряды Фурье вида

при этом радиальные функции будут удовлетворять уравнению (7.86) с потенциалом определенным в (7.118), и Как будет видно из дальнейшего, основной вклад в излучение ультрарелятивистских частиц дают высокие гармоники , и в масштабе соответствующей длины волны потенциал является медленно меняющейся функцией. В этом случае решение

радиального уравнения можно с достаточной точностью построить методом ВКБ. Однако прямое решение уравнения (7.86) методом ВКБ затруднительно из-за того, что потенциал при комплекснозначная функция. Целесообразно поэтому воспользоваться преобразованными радиальными уравнениями (7.123) с вещественным потенциалом (7.124) для радиальных функций Нет необходимости строить соответствующее (7.123) неоднородное уравнение, так как с помощью формул перехода (7.125) можно вернуться от к функциям через которые выражается функция Грина неоднородного уравнения. Чтобы построить эффективный потенциал входящий в уравнение для новых радиальных функций, необходимо вычислить величины Для наших целей достаточно рассмотреть значения Функции строятся на основе соотношений между вида (7.48), (7.49), (7.54), (7.55), и далее находятся по формулам (7.120). Выберем нормированными в соответствии с (7.66), (7.67) при Тогда в упомянутых соотношениях численные коэффициенты изменятся, и мы будем иметь

где далее отождествляются с коэффициентами в (7.116). Значения для мод находятся путем применения формул (7.42, 54) к асимптотикам соответствующих мод. Сравнивая соотношениямежду с формулами (7.116), которые служат определением функций и выражая вторые производные от с помощью соответствующих уравнений через и находим

Постоянные при этом равны

Применяя теперь соотношения (4) и (5) к асимптотикам функций при , получим значения коэффициентов

В приближении высших мультиполей собственные значения углового оператора определяются формулой Дополнения, или с учетом того, что

где В таком приближении вовсе не зависит от и далее мы индекс опускаем.

Вычисляя величины при согласно (7.120) и подставляя их в формулу (7.124) для потенциала можно убедиться в том, что основные члены в рассматриваемом приближении не зависят от и полностью содержатся в первом слагаемом с

В асимптотических областях потенциал становится постоянным

поэтому решения радиального уравнения для

одинаковы при и асимптотически совпадают с решениями скалярного уравнения (4.66), которые мы выберем нормированными условиями

Построим теперь решение уравнения (16) в приближении Прежде всего необходимо найти точки поворота для уравнения (16), т. е. решения уравнения В качестве опорной

точки выберем радиус круговой геодезической ультрарелятивистской частицы (3.17), близкий к радиусу круговой фотонной орбиты (3.16). В этой точке

где и лидирующие члены в (14) взаимно уничтожаются. В результате находим

при этом отброшенные члены в имеют более низкий порядок малости. В окрестности точки мнимая часть исходного потенциала также мала, поскольку при мнимые слагаемые

обращаются в нуль в силу уравнения для и

Решая уравнение с помощью разложения по степеням находим положение максимума потенциала

Таким образом, радиусы орбит ультрарелятивистских частиц лежат правее положения максимума эффективного радиального потенциала на малую относительную величину — (рис.

Рис. 7. Эффективный потенциал в радиальном уравнении в окрестности вершины барьера; положение максимума, радиус круговой орбиты ультрарелятивистской частицы, точки поворота

Путем разложения величин по отыскивается и положение корней потенциала (8), т. е. точек поворота для радиальных функций

где

Заметим, что точки поворота в масштабе также близки, так как и при сливаются. Следовательно, для применения метода ВКБ следует использовать технику сшивания квазиклассических функций в окрестности максимума потенциального барьера.

С помощью разложения ВКБ в областях получим решения

где и множители введены для согласования с асимптотиками (11), (12). Учитывая соотношения (9), легко показать, что при формулы (20), (21) действительно переходят в (11), (12), причем а их совпадают с а и по модулю.

Для отыскания коэффициентов прохождения и отражения следует произвести сшивание решений в точках поворота. Это осуществляется с помощью точного решения уравнения (10) вблизи вершины барьера. В этой области можно аппроксимировать параболой (совпадающей с V в точках

где

Решением уравнения

являются функции параболического цилиндра индекса

от аргумента

Используя асимптотические формулы ,

и приближенные значения интегралов в окрестности точек поворота

можно показать, что решения (20) и (21) согласованы со следующими решениями в окрестности точек поворота:

где некоторые фазы. Модуль коэффициента прохождения (фаза в дальнейшем не существенна) определяется формулой

Таким образом, совокупность формул (30), (31) и (20), (21) определяет радиальные моды в непосредственной близости от частицы и в волновых зонах соответственно. Заметим, что модуль аргумента функций параболического цилиндра при имеет порядок

и можно положить

(при переходе ко второй форме записи использована формула удвоения аргумента для гамма-функции).