Излучение скалярных волн

Выясним особенности излучения в синхротронном режиме сначала на модельном примере излучения скалярных волн частицей, обладающей электрическим и скалярным зарядами, которая движется по круговым траекториям радиуса вокруг керровской черной дыры, погруженной в однородное магнитное поле. Будем предполагать, что безмассовое вещественное скалярное поле взаимодействует с гравитационным полем минимальным образом. Задача сводится к решению уравнения (7,123) при с источником, описываемым формулой (11,35), в которую следует подставить параметры траектории (3,63) - (3,65), Повторяя стандартные вычисления, получим для радиальной функции выражение

где введены новые радиальные функции в соответствии с (7,56), Воспользовавшись формулами и (4,22) для мощности излучения, уходящего на бесконечность и поглощаемого черной дырой, получим

Частица, движущаяся с нерелятивистской скоростью, как и в случае плоского пространства-времени, излучает в основном на частоте основного тона, этому соответствуют мультиполь Применив приближенные формулы для радиальных функций, справедливые при условии (см. § 4), которое заведомо выполнено в нерелятивистском случае, находим

где

Интенсивность излучения, падающего на дыру, содержит осциллирующий фактор. Это связано с тем, что вследствие рассеяния на потенциальном барьере «уходящее» решение содержит в ближней зоне падающую и отраженную волны, между которыми, возникает интерференция.

Обратимся теперь к вычислению мощности скалярного излучения ультрарелятивистской частицы, движущейся по круговой траектории, достаточно удаленной от замкнутой фотонной орбиты, В этом случае излучаются высокие гармоники частоты обращения и для нахождения интенсивности излучения (величина. экспоненциально мала из-за малости коэффициента прохождения) достаточно вычислить значение радиальной функции в точке в приближении высоких частот. В отличие от случая ГСИ (§ 11) сшивание квазиклассических решений здесь необходимо" провести не в вершине потенциального барьера, а на его спадающем участке (рис. 14). Действительно, из уравнения эффективный потенциал (7.58) при которое определяет положение «точки поворота» с учетом выражения (3.65) для частоты обращения при находим

Рис. 14. Эффективный потенциал в радиальном волновом уравнении. Кружками обозначены положения ультрарелятивистских орбит заряженных частиц. Пересечение горизонтальных линий с кривой задает положение точек поворота, в которых производится сшивание квазиклассических решений

Уравнение (7.57) в окрестности точки принимает вид

Его решением, имеющим асимптотику типа является функция Эйри Нормируя решение в соответствии с принятым в § 7 соглашением (при и переходя к функции Макдональда для имеем [76]

Подставив (14) в (6) для интенсивности излучения, уходящего на бесконечность, находим

Поскольку функция Макдональда при больших значениях аргумента экспоненциально спадает, то, как видно из (15), основной вклад в излучение дают высокие гармоники вплоть до

Мы видим, что, как и в случае плоского пространства-времени, спектр простирается до гармоник частоты основного тона,

при этом имеется дополнительная зависимость величины от величин, характеризующих гравитационное поле. Покажем, что если радиус орбиты частицы приближается к радиусу круговой фотонной орбиты то зависимость частоты обрезания в спектре излучения от релятивистского фактора у становится квадратичной. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим поведение величины (12) при С помощью формул (3.63), (3.651) § 3 можно казать, что для заданного при произведение

т. е. остается конечным при следовательно, в этом пределе . Таким образом, удается проследить переход от режима к режиму обсуждавшемуся Интересно также сравнить распределение мощностей СИ и ГСИ определенной частоты по орбитальному моменту Поскольку эффективная область изменения величины простирается от нуля до единицы, то при жиме СИ и в режиме Таким образом вклад в СИ при фиксированном дает большое число мультиполей в преде. в то время как основной вклад в ГСИ, как следует из, результатов § 11, дают мультиполи

С помощью соотношения Дополнения можно показать, что при больших

Подставляя (19) в (16) и переходя ввиду квазинепрерывности спектра от суммирования по к интегрированию по и по параметру

находим

В результате интегрирования по получаем спектральное распределение излучения

Из этой формулы следует, что при малых у интенсивность излучения растет линейно, при больших у — экспоненциально спадает

Спектральная кривая имеет максимум в области гармоник порядка ттах (17),

Проинтегрировав (22) по у, находим полную мощность излучения скалярных волн ультрарелятивистской частицей в режиме СИ для метрики Керра:

Эта величина по порядку превосходит интенсивность скалярного ГСИ (11,48) в раз. При формулы (21), (22) и (23) переходят в результаты, полученные в работе [64] для метрики Шварцшильда,