ГЛАВА II. БЕЗМАССОВЫЕ ПОЛЯ В ПРОСТРАНСТВЕ-ВРЕМЕНИ КЕРРА

Обобщение волновых уравнений для полей различного спина на искривленное пространство-время, вообще говоря, не сводится к замене частных производных на ковариантные. Пространство-время, искривленное гравитационным полем, характеризуется новыми геометрическими величинами — тензором кривизны и связанными с ним тензором Риччи, скалярной кривизной и т. д., которые обращаются в нуль при переходе к пространству Минковского. Неудивительно, что «правильные» уравнения для физических полей в искривленном пространстве-времени в ряде случаев будут содержать неминимальные члены, зависящие от тензора кривизны. Заметим, что для полей высших спинов минимальное взаимодействие с гравитационным полем не удается ввести непротиворечивым образом [83, 84]. Как правило, характер взаимодействия рассматриваемого материального поля с гравитационным полем в рамках той или иной динамической теории определяется условиями симметрии (конформной инвариантности, суперсимметрии и т. п.).

§ 4. СКАЛЯРНОЕ ПОЛЕ

Лагранжев формализм

Естественным требованием симметрии для безмассового скалярного поля представляется условие конформной инвариантности: ввиду отсутствия в теории параметра размерности длины уравнения не должны изменять своего вида при конформном преобразовании метрики

где некоторая гладкая функция. Нетрудно, однако, убедиться в том, что ковариантный оператор Даламбера преобразовании (1) не сохраняет свой вид: на множестве скалярных функций

Тем не менее, заметив, что скалярная кривизна при конформном преобразовании ведет себя аналогичным образом:

для компенсации членов с производными от можно построить комбинацию

Если принять, что при преобразовании (1) поле изменяется как

то, как легко проверить, уравнение вида

будет сохранять свой вид при конформном преобразовании [85, 86]. Небезынтересно отметить, что даже если изначально не вводить неминимальный член в уравнение для скалярного ноля, то он все равно появится из-за радиационных поправок в квантовой теории скалярного поля с самодействием в искривленном пространстве-времени

Вводя для общности численный коэффициент перед членом, пропорциональным кривизне, запишем действие для вещественного безмассового скалярного поля в виде

где второй интеграл берется по границе многообразия а лагранжиан имеет вид

соответствует минимальной, а конформно-инвариантной связи с гравитационным полем). Добавление второго (граничного) члена в действие (7), в котором интегрирование ведется по границе многообразия индуцируемая на границе метрика, след второй фундаментальной формы на границе), необходимо для возможности использования (7) в. качестве действия материального поля при получении уравнений Эйнштейна. Причина в том, что в выражении для скалярной кривизны имеются члены, линейные по вторым производным от метрики, и при варьировании действия по будут возникать поверхностные члены, пропорциональные производным от вариаций обращение в нуль которых заранее не требуется. Для компенсации этих вкладов в действие для гравитационного поля необходимо ввести поверхностный член [88]

и аналогичный член в действие для скалярного поля (7), поскольку лагранжиан (8) также содержит R [138, 139].

Варьирование действия (7) по приводит к уравнению

В случае вакуумных и электровакуумных метрик скалярная кривизна равна нулю и уравнение (6) имеет одинаковый вид: для полей с минимальной и конформной связью. Однако метрический тензор энергии-импульса зависит от [15, 16, 86] и в случае

След метрического тензора при выполнении уравнения поля (9) равен

он обращается в нуль в случае конформно-инвариантной связи, Заметим, что метрический тензор не совпадает с каноническим при из-за наличия производных от метрики в лагранжиане (8).