Законы сохранения

Как и следовало ожидать, в силу уравнения (9) ковариантная производная от тензора энергии импульса равна нулю

В искривленном пространстве-времени из (12), вообще говоря, не следуют законы сохранения для каких-либо величин. Это неудивительно, поскольку законы сохранения возникают при наличии пространственно-временных симметрий, которые в искривленном пространстве-времени общего вида отсутствуют. Если же имеется симметрия, выражающаяся в существовании векторного поля Киллинга то соответствующий закон сохранения действительно вытекает из уравнения (12). В этом случае равенство нулю ковариантной производной сводится к равенству нулю обычной производной от векторной плотности

где второе слагаемое в нижней строчке исчезает в силу симметрии и антисимметрии

Чтобы получить из закон сохранения для случая черных дыр, рассмотрим четырехмерную область в виде коаксиального цилиндра с осью вдоль и боковыми поверхностями лежащими на горизонте событий и пространственной бесконечности соответственно. Пусть и сечения цилиндра плоскостями Тогда, интегрируя (13) по области и используя теорему Гаусса, будем иметь

где замкнутая граница состоит из четырех частей

и элемент интегрирования должен иметь внешнюю нормаль. Обозначим интеграл от по времениподобной гиперповерхности с нормалью, направленной в будущее, через

Тогда равенство (14) можно представить в виде соотношения

выражающего изменение величины за время от до (в (17) учтено, что внешняя нормаль к направлена в прошлое) в терминах соответствующих потоков через горизонт событий и бесконечно удаленную поверхность. Если интегралы в правой части (17) равны нулю, т. е. такие потоки отсутствуют, то величина не зависит от времени . В общем случае соотношение (17) позволяет выразить изменение величины с? внутри области вследствие поглощения черной дырой и ухода на бесконечность. При вычислении интеграла по поверхности горизонта событий вместо координаты следует выбрать «время» в системе координат, не сингулярной на горизонте, например Тогда элемент поверхности горизонта с нормалью, направленной внутрь, можно записать в ковариантном виде [89]:

где вектор тетрады (1.61), не сингулярной на горизонте

будущего; его контравариантные компоненты в системе координат равны на горизонте

При переходе от верхней строчки к нижней в (4.18) учтено, что якобиан преобразования от к равен единице.

Выбирая в качестве гиперповерхности ортогональные и разделенные интервалом времени и обозначая элемент телесного угла через из формулы (17) имеем

поскольку на бесконечности пространство-время становится плоским и, следовательно,

Формула (20) выражает изменение величины в единицу времени в виде суммы соответствующих полных потоков через горизонт событий и бесконечно удаленную поверхность. Физический смысл величины определяется характером векторного поля В случае стационарных черных дыр имеются два векторных поля Киллинга (1.9), отвечающих преобразованиям сдвига по времени и вращения вокруг оси симметрии; соответствующие им величины имеют смысл плотности энергии и проекции момента поля на направление вращения черной дыры. Изменения массы и углового момента черной дыры в силу глобального сохранения энергии и момента [26] выражаются первым интегралом в (20), в который следует подставить временной и азимутальный векторы Киллинга

(знак «минус» в (23) обусловлен выбором сигнатуры метрики С помощью первого закона термодинамики для черных дыр (1.27) отсюда можно получить выражение для скорости изменения площади поверхности горизонта событий. Учитывая, что в рассматриваемом случае нейтрального, поля найдем

где учтено, что на горизонте событий (в координатах

и с учетом (1.63)

Потери энергии и проекции момента поля вследствие переноса через удаленную поверхность, определяемые вторым членом в (20) с учетом явного вида векторов Киллинга можно представить виде

где соответствует энергии, а проекции углового момента на ось симметрии.

Формулы (22), (23), (24), (27), полученные без использования явного выражения для тензора энергии-импульса, справедливы и для полей других спинов.