Коэффициенты усиления в нерелятивистском случае

Для нерелятивистских частиц в сумме по в (27) существенны лишь основные слагаемые с Рассмотрим этот случай более подробно, предполагая, что движение происходит в поле Керра и внешнее магнитное поле отсутствует. Как следует из изложенного в § 3, в поле Керра существуют устойчивые круговые орбиты нерелятивистских частиц, причем угловые скорости движения частиц в направлении вращения дыры (прямые орбиты) и в противоположном направлении не совпадают. Будем считать, что для прямых орбит для обратных — Тогда резонансный режим взаимодействия частиц и волн может иметь место при различном соотношении между знаками Очевидно, возможны следующие комбинации: a) - движение частицы и вращение фазы волны происходит в одном направлении, совпадающем с направлением вращения черной дыры; б)

частица и фаза волны вращаются в сторону, противоположную направлению вращения дыры; в) вращение частицы прямое, фаза волны вращается в противоположную сторону; г) вращение частицы обратное, фазы волны прямое.

Рассмотрим резонансы на смещенных частотах (16), соответствующие возбуждению аксиальных колебаний. В этом случае прямому вращению соответствует частота аксиальных колебаний, по абсолютной величине меньшая частоте обращения, в случае же обратного вращения частицы частота колебаний оказывается больше частоты обращения. С помощью формул (3.18) и (3.83) нетрудно установить, что в случае а) имеет место поглощение на частоте

и усиление на частоте

Случай в) оказывается нерезонансным (нет положительной комбинации частот а в случаях б) и г) имеет место только поглощение; соответствующие частоты равны

Перейдем теперь к радиальным резонансам (15). Поскольку частота по абсолютной величине всегда меньше частоты обращения то в случае прямого вращения имеют место поглощение на частоте

и усиление на частоте

(случай а). В случае обратного вращения резонанс на частоте

соответствует поглощению, а резонанс на частоте

— усилению волн.

Введем в качестве характеристики падающего электромагнитного излучения спектральную интенсивность определив ее с помощью соотношения

где скаляр Ньюмена — Пенроуза для падающих волн, интегрирование ведется по бесконечно удаленной сферической поверхности, скобками обозначена операция усреднения по фазам. В соответствии с разложением по спиновым сферическим функциям для спектральной интенсивности имеем разложение

Выражение для мощности поглощения (27) было получено в виде ряда по азимутальному числу и интеграла по положительной полуоси переменной :

Можно поэтому ввести коэффициент поглощения волны с заданными значениями со и исходя из соотношения

Для нахождения коэффициентов необходимо выразить компоненты корреляционного тензора через спектральную плотность Ограничимся при этом случаем т. е. невращающейся дыры. Воспользовавшись результатами гл. II, представим радиальные функции входящие в разложения соответственно в виде

где функция представляет собой решение дифференциального уравнения

Выражая компоненты тензора через по формуле (5.3), выражая спиновые сферические гармоники через согласно соотношениям и подставляя полученные выражения в формулу (3), для ковариантных компонент силы получим

где оператор имеет компоненты

«черепашья» координата.

Выберем нормировку решения так, чтобы при падающая часть волны имела асимптотическое поведение

где случайные коэффициенты, нормированные условием

(формула (51) соответствует определениям (38), Тогда, подставляя разложения (46) для компонент силы в формулу (18), после усреднения найдем связь между компонентами корреляционного тензора и величинами

В нерелятивистском случае и основной вклад вносят слагаемые с при этом решение уравнения (45) в области сшитое с асимптотическим решением (50), имеет следующий вид:

Подставляя (52) в (46) и учитывая, что производные обращаются в нуль при для в

результате усреднения квадратичных комбинаций компонент силы в соответствии с формулой (18) найдем

и аналогичные соотношения для других компонент. Сопоставляя полученные выражения с определением корреляционного тензора (18), найдем

Предположим, что спектральное распределение интенсивности падающего излучения имеет лоренцеву форму

где положение максимума, а ширина линии падающего излучения. Если величина меньше расстояния между резонансами (31) — (37), так что перекрытия не происходит, то в случае близости к одной из резонансных частот будет иметь место «чистое» поглощение, а для частот усиление волн. Коэффициенты поглощения (усиления) получим, подставляя (54) в (27) и далее в (41). Результирующие выражения для радиальных и аксиальных резонансов имеют вид