§ 5. ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ

Уравнения Максвелла в формализме Ньюмена — Пенроуза

Электромагнитное поле в формализме Ньюмена — Пенроуза описывается совокупностью трех комплекснозначных скалярных функций [48, 51], представляющих собой коэффициенты разложения самодуального бивектора

по базису самодуальных бивекторов

В терминах проекций вещественного максвелловского тензора величины имеют вид

Запишем уравнения Максвелла для поля порождаемого током

Вторую группу уравнений (8) можно эквивалентным образом представить как

где дуальный тензор определен согласно (2). В совокупности уравнения (7) и (9) образуют одно уравнение для комплексного самодуального бивектора

причем вектор тока в правой части является вещественным. Если формально допустить существование магнитных зарядов и токов, то уравнение (10) останется без изменений, однако под следует понимать комплексный вектор

где ток, создаваемый электрическими, а магнитными зарядами.

Умножим скалярно правую и левую части (10) поочередно на векторы изотропной тетрады, записав в форме (3). Учитывая определения спиновых коэффициентов (1.51) и ковариантных. производных по направлениям векторов тетрады (4.31), получим следующую систему уравнений для скаляров (4) — (6), эквивалентную (10):

В правые части уравнений (12)-(15) входят тетрадные проекции тока

(заметим, что при наличии магнитных зарядов

Рассмотрим подробнее систему уравнений для метрики Керра, в которой и каждое из уравнений содержит не более двух неизвестных функций.

С помощью формул (4.42) — (4.45) уравнения (12) — (15]) можно переписать в виде

Замечательным свойством этой системы является возможность получения разделенных уравнений для величин [9]. В самом деле, из определений (4.42) — (4.45) следует, что операторы коммутируют между собой (то же относится к парам!

это позволяет исключить из уравнений (17) и (18) величину Подействуем на правую и левую части (17) оператором

а на обе части уравнения (18) — оператором

и затем вычтем первое уравнение из второго. При этом члены, содержащие взаимно уничтожатся, и мы получим уравнение для

источник в правой части которого имеет вид

Аналогично, действуя на обе части (19) оператором

а на (20) — оператором после сложения полученных уравнений найдем уравнение для величины

с источником

При выводе уравнений (21), (23) были использованы легко проверяемые соотношения, вытекающие из (4.39), (4.40):

(в которых любой из операторов можно также заменить на соответствующий оператор с крестом, а на

В области, где между величинами существуют соотношения, которые можно получить, исключая из других пар уравнений, входящих в систему Применим к (17) оператор

а к (19) — оператор

Вычитая полученные уравнения, снова исключаем и находим соотношение между

которое справедливо при отсутствии источников. Аналогичным образом, действуя на (18) оператором

а на (20) — оператором

и затем складывая полученные уравнения, с учетом (25) найдем

Уравнения (21) и (23) допускают полное разделение переменных, и их решения можно построить с помощью функций Грина. После отыскания третья неизвестная комплексная функция может быть найдена либо непосредственно из системы (17) — (20), либо с помощью потенциалов Дебая (см. ниже). Как видно из формул (17) — (20), функция входит всюду с множителем причем на произведение всюду действуют операторы дифференцирования. Поэтому ясно, что существует решение однородной системы уравнений Максвелла вида

которое описывает собой кулоновское поле заряда в метрике Керра. Действительно, интеграл по бесконечно удаленной сферической поверхности

Таким образом, к решению неоднородной системы (17) — (20) можно всегда добавить кулоновское решение (29), коэффициент в котором можно найти, вычисляя интеграл вида (30) для полного решения.

В случае метрики Шварцшильда учитывая, что из системы (17) — (20) можно получить отдельное уравнение и для функции Действуя на обе части (17) оператором а на (18) — оператором после сложения полученных уравнений найдем

где источник в правой части имеет вид

Переменные в этом уравнении разделяются, поскольку оператор в левой части представляет собой сумму членов, один из которых не зависит от 0, другой — от

Обратимся к описанию энергетических характеристик пробного электромагнитного поля в пространстве времени Керра. Выражая тензор энергии импульса

через самодуальный тензор записанный в форме (3), и учитывая соотношения (1.41) и (1.43), получим представление через скаляры Ньюмена — Пенроуза

В области, где нет источников, тензор энергии-импульса удовлетворяет условию консервативности (4.12), которое, как и в случае скалярного поля, позволяет сформулировать законы сохранения энергии и проекции углового момента на направление оси симметрии метрики Керра.