ГЛАВА I. ПРОСТРАНСТВА-ВРЕМЕНА, СОДЕРЖАЩИЕ ЧЕРНЫЕ ДЫРЫ

§ 1. ВРАЩАЮЩАЯСЯ ЗАРЯЖЕННАЯ ЧЕРНАЯ ДЫРА

Существующие представления о черных дырах основываются на теоремах, доказываемых средствами дифференциальной геометрии многообразий. Изложение результатов теории имеется в книгах [2, 5, 224], и мы не будем повторять их здесь. Отсылая читателя за подробностями к монографиям и сборникам [1, 2, 5, 14, 21-23], а также оригинальным статьям и обзорам [23—26], ограничимся кратким перечислением основных положений, лежащих в основе современных представлений о черных дырах.

Наиболее общее семейство вакуумных решений уравнений Эйнштейна, описывающих стационарные асимптотически плоские пространства-времена с несингулярным горизонтом событий и регулярные всюду вне горизонта, обладает осевой симметрией [25] и совпадает с двухпараметрическим семейством Керра [8]. Два независимых параметра и а задают массу и момент вращения черной дыры. Теоремы, подкрепляющие это утверждение, были сформулированы в работах [27-28] для невращающейся черной дыры и обобщены на метрику Керра в [29, 30]. Описывающие черные дыры решения невакуумных уравнений Эйнштейна, могут характеризоваться большим числом параметров. Так, в случае системы уравнений Эйнштейна — Максвелла, перечисленными свойствами обладает семейство решений Керра — Ньюмена [31], имеющее четыре параметра где электрический, магнитный заряды, единственность этого семейства доказана в [32]. Имеются решения системы уравнений Эйнштейна — Янга — Миллса, описывающие черные дыры, несущие калибровочные (цветовые) заряды [33], а также системы Эйнштейна — Янга — Миллса — Хиггса со спонтанно нарушенной симметрией, описывающие точечные гравитирующие монополи и дайоны, скрытые под горизонтом событий [255—260]. В расширенной супергравитации найдены решения, описывающие экстремально заряженные черные дыры, обладающие фермионной структурой. Существенно, что все перечисленные решения известны для полей нулевой массы, массивных собственных внешних полей черной дыры иметь не могут [34].

Поле Керра — Ньюмена

Откладывая обсуждение решений с магнитными и калибровочными зарядами до § 18, рассмотрим подробнее решение Керра — Ньюмена, описывающее вращающуюся электрически заряженную

черную дыру [31]. В координатах Бойера — Линдквиста [35] квадрат интервала пространства-времени имеет вид

где введены стандартные обозначения

4-потенциал (-форма) электромагнитного поля, определяемый соотношением

при не отличается от потенциала точечного заряда в пространстве Минковского. Дополнительное слагаемое, пропорциональное а, на пространственной бесконечности совпадает с потенциалом магнитного диполя величины Отличные от нуля компоненты контравариантного метрического тензора равны (координаты нумеруем 0, 1, 2, 3)

Для метрики Керра — Ньюмена имеется тридцать ненулевых символов Кристоффеля, из которых двадцать два попарно равны

где обозначено

Символы Кристоффеля являются четными функциями разности и не обращаются в нуль в экваториальной плоскости метрики Керра. Остальные компоненты связности нечетны относительно отражения в плоскости где они принимают нулевые значения. Это полезно иметь в виду при решении уравнений движения частиц.

Отличные от нуля компоненты тензора электромагнитного поля равны

что соответствует при суперпозиции кулонова поля и поля магнитного диполя.

Линейный элемент (1) не зависит от координат поэтому векторы

и

являются векторами Киллинга, порождающими сдвиги по времени и вращения вокруг оси симметрии. Векторы Киллинга и не ортогональны между собой

Симметрия электромагнитного поля относительно преобразований, задаваемых векторами Киллинга, выражается в равенстве нулю производных Ли от 4-потенциала (3) вдоль векторных полей (8),

Вектор времениподобен в области, ограниченной неравенством

и становится изотропным на поверхности эргосферы

представляющей собой эллипсоид вращения. Внутри эргосферы вектор пространственноподобен, однако существует линейная комбинация векторов Киллинга

представляющая собой времениподобный вектор Киллинга внутри эргосферы, если выполняется неравенство

где

Поверхность, на которой сливаются, является горизонтом событий, ее положение определяется большим корнем уравнения

откуда находим где

Величина играет роль угловой скорости вращения горизонта; в согласии с общей теоремой [26] она не зависит от угла

Горизонт событий представляет собой изотропную гиперповерхность, пространственное сечение которой имеет топологию сферы. Площадь двумерной поверхности горизонта вычисляется по формуле

что приводит к результату

Согласно теореме Хокинга [25] площадь поверхности горизонта событий черной дыры, погруженной в материальную среду, тензор энергии-импульса которой удовлетворяет условиям энергодоминантности, не может убывать. Масса и момент вращения дыры по отдельности могут уменьшаться, при этом, полностью потеряв вращательный момент, черная дыра окажется имеющей массу не менее величины

которая была названа «неуменьшаемой» массой черной дыры [37, 38]. Закон неубывания площади горизонта событий имеет общую природу с законом возрастания энтропии, его можно связать с потерей информации о состоянии вещества, оказавшегося под горизонтом событий. Если бы черная дыра не обладала некоторой

энтропией, то при поглощении, скажем, нагретого газа во внешнем пространстве происходило бы убывание энтропии. Привлечение квантовых соображений устраняет опасность противоречия со вторым началом термодинамики, ибо оказывается, что в квантовой гравитации энтропия черной дыры действительно пропорциональна площади поверхности горизонта событий (21) в единицах квадрата планковской длины

Это отвечает и более ранним расчетам эффекта рождения частиц в черных дырах в рамках полуклассической теории [13, 14]. Суммарная энтропия черной дыры и поглощаемого вещества при этом не убывает, поскольку при поглощении увеличивается масса (а также, возможно, уменьшается вращательный момент) черной дыры, вследствие чего возрастает площадь поверхности горизонта событий. Следует отметить, что знаменатель в (23) крайне мал, поэтому при макроскопическом изменении площади горизонта энтропия черной дыры изменяется на весьма большую величину.

На горизонте событий постоянна линейная комбинация компонент 4-потенциала, имеющая смысл электростатического потенциала горизонта для наблюдателя, вращающегося вместе с горизонтом

Постоянна также величина, получившая название «поверхностной гравитации» черной дыры, которая равна ускорению (в единицах координатного времени) частицы, удерживаемой в покое на горизонте, в инвариантном виде

где вектор определяется формулой (14). при (т. е. является изотропным вектором, лежащим на гиперповерхности

— другой изотропный вектор, нормированный условием Для метрики Керра — Ньюмена поверхностная гравитация горизонта равна

- (26) При поглощении черной дырой порции вещества с энергией несущего вращательный момент (относительно оси симметрии) и электрический заряд изменение массы черной дыры сопровождается изменением площади поверхности горизонта событий согласно соотношению

которое устанавливается на основе уравнений движения вещества. Выразив через энтропию черной дыры, можно придать равенству (27) смысл первого начала термодинамики, если отождествить величину с температурой черной дыры (в обычных единицах Обоснованность этого шага была доказана Хокингом [13], установившим, что черная дыра возбуждает квантовое рождение частиц с тепловым спектром, характеризующимся температурой Тем самым обнаруживается удивительное единство законов классической механики, теории гравитации квантовой теории поля и термодинамики.

Помимо существования векторных полей Киллинга, симметрия пространства-времени может выражаться наличием симметричных тензорных полей более высокого ранга, удовлетворяющих уравнениям Киллинга [41—45]. Для метрики Керра — Ньюмена имеется нетривиальный тензор Штеккеля — Киллинга второго ранга такой, что

В координатах Бойера — Линдквиста отличны от нуля его компоненты [24, 25]

Соответствующая симметрия электромагнитного поля выражается соотношением

из которого вытекает равенство для тензора Риччи Выполнение условий (28), (30) обеспечивает существование, помимо энергии и проекции момента количества движения на ось симметрии, еще одного интеграла движения — «третьего» интеграла Картера [24] для заряженных частиц в поле Керра Ньюмена:

Тензор Штеккеля — Киллинга можно выразить через антисимметричный тензор Киллинга удовлетворяющий уравнению

в виде свертки

Условие (28) при этом удовлетворяется автоматически в силу (31), а соотношение (30) будет иметь место, если

Заметим, что в силу уравнения (31) тензор полностью антисимметричен. Явное выражение для поля Керра — Ньюмена дано ниже.