Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
ГЛАВА I. ПРОСТРАНСТВА-ВРЕМЕНА, СОДЕРЖАЩИЕ ЧЕРНЫЕ ДЫРЫ§ 1. ВРАЩАЮЩАЯСЯ ЗАРЯЖЕННАЯ ЧЕРНАЯ ДЫРАСуществующие представления о черных дырах основываются на теоремах, доказываемых средствами дифференциальной геометрии многообразий. Изложение результатов теории имеется в книгах [2, 5, 224], и мы не будем повторять их здесь. Отсылая читателя за подробностями к монографиям и сборникам [1, 2, 5, 14, 21-23], а также оригинальным статьям и обзорам [23—26], ограничимся кратким перечислением основных положений, лежащих в основе современных представлений о черных дырах. Наиболее общее семейство вакуумных решений уравнений Эйнштейна, описывающих стационарные асимптотически плоские пространства-времена с несингулярным горизонтом событий и регулярные всюду вне горизонта, обладает осевой симметрией [25] и совпадает с двухпараметрическим семейством Керра [8]. Два независимых параметра Поле Керра — НьюменаОткладывая обсуждение решений с магнитными и калибровочными зарядами до § 18, рассмотрим подробнее решение Керра — Ньюмена, описывающее вращающуюся электрически заряженную черную дыру [31]. В координатах Бойера — Линдквиста [35] квадрат интервала пространства-времени имеет вид
где введены стандартные обозначения
4-потенциал (
при
Для метрики Керра — Ньюмена имеется тридцать ненулевых символов Кристоффеля, из которых двадцать два попарно равны
где обозначено
Символы Кристоффеля Отличные от нуля компоненты тензора электромагнитного поля равны
что соответствует при Линейный элемент (1) не зависит от координат
и
являются векторами Киллинга, порождающими сдвиги по времени и вращения вокруг оси симметрии. Векторы Киллинга и не ортогональны между собой
Симметрия электромагнитного поля относительно преобразований, задаваемых векторами Киллинга, выражается в равенстве нулю производных Ли от 4-потенциала (3) вдоль векторных полей (8),
Вектор времениподобен в области, ограниченной неравенством
и становится изотропным на поверхности эргосферы
представляющей собой эллипсоид вращения. Внутри эргосферы вектор
представляющая собой времениподобный вектор Киллинга внутри эргосферы, если выполняется неравенство
где
Поверхность, на которой
откуда находим
Величина
Горизонт событий представляет собой изотропную гиперповерхность, пространственное сечение которой имеет топологию сферы. Площадь двумерной поверхности горизонта вычисляется по формуле
что приводит к результату
Согласно теореме Хокинга [25] площадь поверхности горизонта событий черной дыры, погруженной в материальную среду, тензор энергии-импульса которой удовлетворяет
которая была названа «неуменьшаемой» массой черной дыры [37, 38]. Закон неубывания площади горизонта событий имеет общую природу с законом возрастания энтропии, его можно связать с потерей информации о состоянии вещества, оказавшегося под горизонтом событий. Если бы черная дыра не обладала некоторой энтропией, то при поглощении, скажем, нагретого газа во внешнем пространстве происходило бы убывание энтропии. Привлечение квантовых соображений устраняет опасность противоречия со вторым началом термодинамики, ибо оказывается, что в квантовой гравитации энтропия черной дыры действительно пропорциональна площади поверхности горизонта событий (21) в единицах квадрата планковской длины
Это отвечает и более ранним расчетам эффекта рождения частиц в черных дырах в рамках полуклассической теории [13, 14]. Суммарная энтропия черной дыры и поглощаемого вещества при этом не убывает, поскольку при поглощении увеличивается масса (а также, возможно, уменьшается вращательный момент) черной дыры, вследствие чего возрастает площадь поверхности горизонта событий. Следует отметить, что знаменатель в (23) крайне мал, поэтому при макроскопическом изменении площади горизонта энтропия черной дыры изменяется на весьма большую величину. На горизонте событий постоянна линейная комбинация компонент 4-потенциала, имеющая смысл электростатического потенциала горизонта для наблюдателя, вращающегося вместе с горизонтом
Постоянна также величина, получившая название «поверхностной гравитации» черной дыры, которая равна ускорению (в единицах координатного времени) частицы, удерживаемой в покое на горизонте, в инвариантном виде
где вектор — другой изотропный вектор, нормированный условием
- (26) При поглощении черной дырой порции вещества с энергией
которое устанавливается на основе уравнений движения вещества. Выразив Помимо существования векторных полей Киллинга, симметрия пространства-времени может выражаться наличием симметричных тензорных полей более высокого ранга, удовлетворяющих уравнениям Киллинга [41—45]. Для метрики Керра — Ньюмена имеется нетривиальный тензор Штеккеля — Киллинга второго ранга
В координатах Бойера — Линдквиста отличны от нуля его компоненты [24, 25]
Соответствующая симметрия электромагнитного поля выражается соотношением
из которого вытекает равенство для тензора Риччи Тензор Штеккеля — Киллинга можно выразить через антисимметричный тензор
в виде свертки
Условие (28) при этом удовлетворяется автоматически в силу (31), а соотношение (30) будет иметь место, если
Заметим, что в силу уравнения (31) тензор полностью антисимметричен. Явное выражение для поля Керра — Ньюмена дано ниже.
|
1 |
Оглавление
|