§ 16. ОТРИЦАТЕЛЬНОЕ ПОГЛОЩЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН ЧАСТИЦАМИ ВБЛИЗИ ЧЕРНЫХ ДЫР

Обсуждавшиеся выше механизмы отрицательного поглощения могут естественным образом реализоваться и в гравитирующих системах. Кольцо заряженных частиц, вращающихся вокруг черной дыры, может усиливать электромагнитное излучение на некоторых характерных частотах аналогично вращающемуся осциллятору. Действительно, при воздействии возмущающей силы на частицу, движущуюся по устойчивой круговой орбите в полях Шварцшильда, Шварцшильда — Эрнста или Керра, будут возникать малые колебания, частоты которых были найдены в § 3. Взаимодействие частиц, совершающих колебательное и вращательное движения с неоднородным волновым электромагнитным полем, как было показано в предыдущем разделе, имеет характер отрицательного поглощения на некоторых комбинационных частотах. Заметим, что если в метрике Шварцшильда устойчивые круговые орбиты существуют лишь для нерелятивистских частиц, то при наличии внешнего магнитного поля, как следует из результатов в § 3, имеются существенно релятивистские экваториальные круговые орбиты, которые являются устойчивыми.

Вынужденные колебания около круговых орбит

Рассмотрим возбуждение малых колебаний заряженной частицы, движущейся в экваториальной плоскости керровской черной дыры (допускается также аксиально-симметричное магнитное поле) под действием поля электромагнитных волн, принимаемого за возмущение.

В уравнения (3-69) — (3.71), описывающие свободные малые колебания около устойчивых круговых орбит следует ввести неоднородные члены, в результате чего получаем следующую систему уравнений:

где индексы принимают значения индексы значения греческие индексы пробегают 4 значения, величины задаются формулами (3.41) и компоненты силы в правых частях уравнений связаны в низшем приближении теории возмущений с компонентами тензора электромагнитного поля на невозмущенной траектории соотношением

Здесь заряд, масса, — 4-скорость частицы на невозмущенной траектории, угловая скорость орбитального движения; координата на невозмущенной траектории.

Проинтегрировав уравнения (1) однократно по подставим производные

во второе слагаемое в (2). В результате из (2) получим систему разделенных уравнений, описывающих вынужденные радиальные

и аксиальные колебания

частоты которых были вычислены в § 3 для различных конфигураций фоновых гравитационного и электромагнитного полей. Заметим, что аксиальные колебания, описываемые уравнением (6), независимы, а радиальные, как видно из (5), сопровождаются азимутальными колебаниями и осцилляциями временной координаты, которые найдем, подставляя решение уравнения (5) в (4).

Далее нам будет удобно перейти к преобразованиям Фурье компонент силы и возмущений Подставим в виде ряда Фурье по переменной и интеграла Фурье по времени:

а возмущения в виде интеграла Фурье:

При подстановке в уравнения необходимо учесть, что на траектории невозмущенного движения вследствие чего решения выражаются рядами вида

где коэффициенты двойного разложения обозначены через;

Вводя обозначение

и подставляя разложения (7), (8) в уравнения для радиальных и аксиальных колебаний (5), (6), находим

где для кратности были опущены аргументы в в обозначениях величин Решения для азимутальных и временных возмущений получим, подставляя (11) в уравнение (4), что дает

Как и следовало ожидать, вынужденные колебания имеют резонансный характер при совпадении частоты вынуждающей силы со с одной из гармоник частоты обращения

а также с одной из комбинационных частот — радиальной

и аксиальной

В случае (14) возбуждаются азимутальные и временные колебания, причем, как видно из (11), они сопровождаются также и радиальными колебаниями. Собственные радиальные колебания возбуждаются при выполнении одного из резонансных условий (15), при этом возникают также азимутальные и временные осцилляции. Наконец, аксиальные колебания, являющиеся в линейном приближении независимыми, возбуждаются при выполнении одного из условий (16).

Выражения (11) — (13) формально расходятся при выполнении одного из резонансных условий (14) — (16), для придания им физического смысла необходимо учесть диссипацию. Это можно сделать, сдвигая полюс в комплексную плоскость частоты, т. е. заменяя на в предположении, что частота характеризующая скорость диссипации, мала по сравнению с . В этом случае возмущения, определяемые формулой (8), становятся экспоненциально затухающими со временем. Всюду далее мы будем

считать частоту в формулах комплексной в указанном выше смысле.

При выполнении одного из резонансных условий имеет место эффективный обмен Энергий между частицами и полем электромагнитных волн. Практический интерес представляет случай, когда фаза электромагнитных волн является случайной величиной и средние значения по фазам

Для характеристики поля случайных сил удобно ввести корреляционную функцию

удовлетворяющую (в силу вещественности соотношениям

Напомним, что величины входящие в (18), являются также функциями переменных , то же самое, очевидно, относится и к корреляционному тензору