Квазисвязанные состояния в поле Шварцшильда

Система радиальных уравнений второго порядка для (при этом приобретает симметричный вид:

где и введен потенциал Для массивного заряженного поля Прока в кулоновской поле, как утверждалось в работе [317], не существует связанных состояний из-за сингулярного поведения радиальных функций в начале координат. В случае черной дыры сингулярность скрыта за горизонтом

событий и вместо граничных условий в начале координат возникают граничные условия поглощения на горизонте. Можно ожидать, что если эффект поглощения поля черной дырой достаточно мал, то векторные частицы, как и скалярные, будут образовывать вокруг черной дыры квазистационарные состояния. В работе [309] было показано, что это действительно так, по крайней мере для черных дыр, радиус горизонта событий которых мал по сравнению с комптоновской длиной волны частицы. Ограничиваясь здесь отысканием вещественной части спектра энергий квазисвязанных состояний, рассмотрим систему радиальных уравнений (15) при Нетрудно убедиться в том, что в этой области значений аргумента система (15) имеет решения, выражающиеся через функции Уиттекера где значение параметра пока не определено. Подстановка в таком виде в уравнения (15) приводит к системе линейных соотношений для коэффициентов , содержащей параметр

Нетривиальные решения этой системы существуют, если ее определитель равен нулю: откуда находим три линейно-независимых решения: Вводя спиновое квантовое число а, положим тогда для первого, второго и третьего решений соответственно. Если полностью пренебречь поглощением частиц черной дырой, то в качестве условия квантования можно использовать требование отсутствия растущего решения при что ввиду соотношения (19.39), дает где Отсюда получаем формулу для уровней

Параметр о характеризует три возможных спиновых состояния векторной частицы. Для определения мнимой части энергии необходимо, как и в § 19, 20, произвести сшивание построенных решений с решениями вблизи горизонта событий.