ГЛАВА VI. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЧАСТИЦ И ВОЛН

§ 15. МАЗЕР-ЭФФЕКТ В КВАЗИКЛАССИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ

Известно, что электроны, движущиеся в магнитном поле, образуют среду, характеризующуюся существованием отрицательного поглощения электромагнитных волн определенных частот. Эффект имеет важное значение как в практических приложениях 1210], так и в астрофизике [228]. Возможность мазерного эффекта на циклотронной частоте была показана в 1959 г. независимо А. В. Гапоновым [229] и Ю. Шнейдером [230]. На основе этой идеи был создан новый тип мощных СВЧ-генераторов, названных мазерами на циклотронном резонансе, или гиротронами. В работах [203—206] было показано, что для существенно релятивистских частиц в принципе возможно получение мазерного эффекта и на высоких гармониках циклотронной частоты. Отрицательное поглощение электронами в магнитном поле обусловлено релятивистскими добавками в законе зависимости энергии от скорости. Позже было показано, что для многопериодических систем мазерный эффект может иметь место и в нерелятивистском режиме движения [231-233, 235]. Оказалось, что такая возможность может реализоваться и для частиц, движущихся в окрестности черных дыр [234, 81]. Общие соотношения, связывающие мощность суммарного эффекта индуцированного излучения и поглощения с мощностью спонтанного излучения квазиклассических систем, были получены в [211—212] и позже переоткрыты в теории лазеров на свободных электронах.

Условия возникновения отрицательного поглощения

При взаимодействии гармонического осциллятора с полем электромагнитных волн со случайными фазами, происходит поглощение энергии волн. Пусть осциллятор частоты подвергается действию внешней силы

Решение этого уравнения с начальными условиями имеет вид

Рассмотрим случай периодической внешней силы

где фаза, предполагаемая случайной величиной. Вычислим работу, производимую внешней силой над осциллятором в единицу времени, усреднив мгновенную величину мощности по фазе

Продифференцировав решение (2) по времени и подставив результат в (4), получим выражение

где введена корреляционная функция

В результате интегрирования по находим

Как видно из этой формулы, мощность поглощения является осциллирующей величиной, среднее значение которой обращается в нуль, за исключением случая резонанса когда линейно нарастает со временем. В случае точного резонанса необходимо учесть диссипативные процессы, что можно сделать, интегрируя выражение (7) по времени согласно соотношению

где эффективная частота, характеризующая скорость диссипации энергии.

Учитывая в (7) лишь второе резонансное слагаемое, получим

Эта величина, принимающая максимальное значение при очевидно, является всегда положительной.

С квантовомеханической точки зрения положительная определенность объясняется следующим образом. Гармонический осциллятор имеет эквидистантный спектр энергий

поэтому при воздействии резонансной внешней силы возможен дипольный переход с уровня на (поглощение), а также переход на уровень с отдачей энергии. Поскольку матричные элементы переходов то разность вероятностей переходов в единицу времени, определяющая суммарную мощность поглощения

оказывается величиной положительной.

Этот вывод может измениться, если собственная частота системы зависит от энергии, как, например, для электронов, движущихся в однородном магнитном поле

Если частица при взаимодействии с электромагнитной волной увеличивает свою энергию, поглощая энергию волны, то уменьшается и ларморовское вращение замедляется до тех пор, пока частица не выходит из резонанса с волной. Если же происходит, наоборот, передача энергии волне, то вращение становится более быстрым.

Рис. 15. Формирование сгустка при воздействии периодической силы на электроны, движущиеся по окружности в магнитном поле

На рис. 15 схематически изображено взаимодействие электронов, вращающихся по окружности в однородном магнитном поле, с периодической внешней силой. Диаграммы соответствуют моментам времени, когда сила направлена вертикально вверх. Первоначально все частицы расположены на окружности равномерно, при этом частицы 1, 2 увеличивают энергню и их ларморовское вращение замедляется; наоборот, частицы энергия которых уменьшается, начинают вращаться быстрее. Через несколько периодов образуется сгусток, вращающийся с частотой соответствующей результирующему равновесному значению энергии. Если то сгусток опережает волну по фазе и в результате займет равновесное положение, отвечающее

матическому поглощению энергии. Напротив при положение сгустка будет соответствовать отрицательному поглощению.

С квантовой точки зрения зависимость частоты от энергии проявляется как слабая неэквидистантность энергетических уровней: расстояние между соседними уровнями убывает с ростом энергии. И хотя матричные элементы переходов вверх (с поглощением) больше по абсолютной величине, чем матричные элементы переходов вниз (с излучением), соответствующие вероятности могут оказаться в обратном соотношении, если частота не точно совпадает с но несколько превышает В самом деле, при учете уширения уровней закон сохранения энергии при вынужденных переходах выражается наличием резонансного фактора

где эффективная ширина уровней в единицах частоты. Пусть по определению

тогда при дипольные переходы с уровня на уровень могут оказаться более вероятными, нежели переходы из-за различной величины резонансного множителя (13). Суммарная мощность поглощения будет равна

где положено

В результате дифференцирования по с учетом зависимости частоты от энергии получим

(Заметим, что величина обратно пропорциональна постоянной Планка, поэтому выражение (17) остается конечным в классическом пределе Поскольку производная отрицательна, то второй член в (17) оказывается отрицательным при (первое слагаемое, пропорциональное как и в случае гармонического осциллятора, положительно). Если величина расстройки частоты мала по сравнению с то, учитывая соотношение

из формулы (17) получим

Поскольку ясно, что при некоторой величине расстройки второе слагаемое в (19) будет доминирующим и мощность поглощения окажется отрицательной.

Другой способ получения отрицательного поглощения при взаимодействии электромагнитных волн с квазиклассической системой был предложен в работе [231] и может быть проиллюстрирован на следующем простом примере. Рассмотрим гармонический осциллятор, центр тяжести которого движется по окружности в плоскости и колебания совершаются вдоль оси Считая, что осциллирующая частица обладает электрическим зарядом рассмотрим вынужденные колебания осциллятора в поле электромагнитной волны, описываемой тензором Поскольку невозмущенное движение является чисто круговым, то в первом; порядке по возмущению, вызванному волной, найдем, что вынужденные колебания описываются уравнением

где значение вертикальной компоненты силы в точке мгновенного положения частицы:

Рассмотрим случай, когда функция зависящая от азимутального угла в плоскости вращения времени, имеет вид бегущей: волны

с произвольной начальной фазой Тогда можно повторить вычисления, проведенные выше для гармонического осциллятора, дополнительно учитывая зависимость силы от координат. При этом в (4) в качестве следует подставить

(второй член, имеющий тот же порядок малости, что и первый, возникает при учете зависимости поля от координат). Из. уравнений Максвелла имеем

причем на невозмущенной траектории частицы

Опуская в (23) полную производную по времени, вклад которой исчезает при усреднении, найдем для средней мощности поглощения (4) выражение

Повторяя рассуждения, которые привели к формуле для средней мощности поглощения (15.9), получим

где введены обозначения для резонансных частот

представляющих собой комбинации частоты обращения и частоты колебаний. Будем считать, что тогда Мы видим, что в отличие от случая неподвижного осциллятора в рассматриваемом случае усредненная мощность поглощения на разностной частоте оказывается отрицательной. Для суммарной частоты по-прежнему имеет место поглощение. Заметим, что при суммарная частота стремится к частоте колебаний осциллятора при этом второе слагаемое в перестает быть резонансным, следовательно, мы возвращаемся к формуле для поглощения осциллятором (9).

Квантовомеханическая интерпретация этого эффекта [212] состоит в следующем. Рассматриваемая система является двухпериодической, и ее квантование, согласно правилам Бора, состоит в подчинении адиабатических инвариантов

условиям

где натуральные числа. В квазиклассическом пределе уровни энергии локально эквидистантны и частоты переходов из состояния с квантовыми числами в состояние равны

где классические частоты

Поэтому в случае совпадения частоты внешней силы с одной из резонансных частот (30) могут одновременно происходить переходы с поглощением и с излучением

Пусть - вероятность перехода в единицу времени, тогда мощность поглощения в пределе 0 принимает вид

Для гармонического осциллятора однако, даже в случае, если обе производные в (3,2) положительны, суммарная мощность поглощения может стать отрицательной, если одно из чисел отрицательно. Действительно, пусть для определенности Тогда при условии положительности частоты перехода

отрицательное поглощение будет иметь место, если производные каждая из которых предполагается положительной, удовлетворяют соотношению

В рассматриваемом выше случае и мы имеем отрицательное поглощение на резонансной частоте

Более точная теория, в которой учитывается динамика населенностей для трех участвующих в индуцированных процессах уровней, развитая в работах [206, 212], приведена в книге [198]. Она применима и в случае большой интенсивности падающих волн, когда возникает явление насыщения.

Величина мощности, характеризующая суммарный эффект индуцированного излучения и поглощения электромагнитных волн квазиклассическими системами, как было показано, не исчезает в пределе (вероятности в (11) содержат постоянную Планка в знаменателе). Поэтому в случае, когда квантовые поправки малы, как это обычно имеет место в случае движения заряженных частиц во внешнем электромагнитном поле, для вычисления мощности поглощения можно воспользоваться классической теорией. Этот метод [212] сводится к решению уравнений движения заряда по теории возмущений с учетом поля электромагнитной волны. Представив мировую линию заряда в виде

где отвечает невозмущенному движению во внешнем поле поправка первого порядка малости по взаимодействию с полем волны получим для мощности поглощения следующее выражение:

где

Поглощение электромагнитного (а также гравитационного) излучения частицами, движущимися в гравитационных полях (§ 16, 17), можно рассчитать аналогичным образом.

Приведем примеры конкретных систем, в которых возникает отрицательное поглощение в соответствии с механизмами, обсуждающимися выше (в пространстве-времени Минковского). а) Отрицательное поглощение релятивистскими электронами на гармониках циклотронной частоты [203, 206]

Мощность поглощения неполяризованного излучения электронами, движущимися по спирали в однородном магнитном поле с произвольной скоростью, имеет вид

где спектральное распределение интенсивности падающего электромагнитного излучения, к — волновой вектор, и

где

продольная компонента скорости, функции Бесселя аргумента поперечный импульс

электрона, угол между направлением волнового вектора волны и внешним магнитным полем. Подробный анализ областей отрицательного поглощения дан в [212].

б} Неоднородное магнитное поле

В [234] показано, что в неоднородном магнитном поле типа фокусирующего поля циклических ускорителей

электроны испытывают отрицательное поглощение электромагнитных волн на частоте , где частота радиальных колебаний вокруг равновесной орбиты радиуса Здесь реализуется ситуация, описываемая формулой (27). Мощность отрицательного поглощения на частоте равна

в) Скрещенные поля

Аналогичный эффект имеет место для электронов, движущихся в аксиально-симметричном скрещенном поле, представляющем суперпозицию однородного магнитного поля (направление которого принимается за ось и электростатического поля с потенциалом

В поле такой конфигурации нерелятивистские электроны совершают радиальные колебания с частотой

угловая скорость азимутального движения равна Расчет показывает, что на комбинационной частоте

возникает отрицательное поглощение

где

Аналогичное выражение было получено Ю. Г. Павленко [235] в рамках квантовой теории.