ГЛАВА III. СТАЦИОНАРНЫЕ ВНЕШНИЕ ПОЛЯ ВОКРУГ ЧЕРНЫХ ДЫР

В этой главе рассматриваются создаваемые внешними источниками в пространстве-времени Керра пробные электромагнитные и гравитационные поля, не зависящие от времени в системе координат Бойера-Линдквиста. Согласно теореме Хокинга [5, 21], вращающаяся черная дыра приходит в стационарное состояние, лишь когда все поля становятся аксиально-симметричными. Однако, если влияние внешних полей на геометрию пространства-времени достаточно мало, его можно учитывать адиабатически, рассматривая в качестве нулевого приближения стационарные поля и не обладающие аксиальной симметрией. В § 9 обсуждаются связанные с воздействием неосесимметричных электромагнитных полей на вращающуюся черную дыру пондемоторные явления. Предварительно строится теория аксиально-симметричных стационарных возмущений методом функций Грина обобщенного уравнения Лапласа.

§ 8. АКСИАЛЬНО-СИММЕТРИЧНЫЕ ПОЛЯ

Исследование не зависящих от времени осесимметричных конфигураций пробных скалярного, электромагнитного и гравитационного полей удается провести, не прибегая к разделению переменных [122—123]. Для таких возмущений уравнение Тьюкольского можно свести к обобщенному уравнению Пуассона в двумерном пространстве [124—126], решения которого строятся в замкнутом виде для всех . В отдельных случаях удается непосредственно проинтегрировать уравнения Максвелла, так были построены решения для поля точечного заряда на оси симметрии черной дыры [127—132]. С помощью этих решений можно рассчитать силу самодействия, приложенную к точечной частице в сильном гравитационном поле черной дыры [133—137], а также соответствующую поправку к собственной энергии частицы [138—139]. Менее исследовался случай аксиально-симметричных стационарных возмущений гравитационного поля (см., например, [140], где используется метод разделения переменных). Ниже строится общая теория, применимая для безмассовых полей с .

Соотношение между ...

Покажем, что для некоторого класса стационарных осесимметричных электромагнитных и гравитационных полей скаляры и

связаны между собой соотношением пропорциональности. Рассмотрим сначала систему уравнений Максвелла (5.12) — (5.15) для аксиально-симметричных стационарных полевых конфигураций, полагая производные по от максвелловских скаляров равными нулю. Вводя новые функции

представим систему уравнений Максвелла в виде

Нас будут интересовать поля, создаваемые токами вида

очевидным образом удовлетворяющими уравнению непрерывности

Для тетрадных проекций тока (6) выполняются соотношения

поэтому, вычитая уравнение (3) из (2) и (5) из (4), находим, что причем в согласии с требованием конечности при постоянную интегрирования нужно положить равной нулю. В результате имеем

или

Это соотношение можно также вывести из уравнения Тьюкольского (7.4). Для возмущений, порождаемых источником (6), проекции тока, входящие в уравнение Тьюкольского, можно

получить с помощью проекционных операторов вида (6.77), (6.78), опуская в них компоненты что эквивалентно следующей замене векторов тетрады:

Учитывая, что на множестве функций, зависящих лишь от , операторы совпадают между собой (то же верно и для получим «укороченные» проекционные операторы

Выражаемая этим соотношением связь между ними означает, что

Понимая всюду далее в этой главе под сужения соответствующих операторов на множество функций, зависящих от двух переменных , можно переписать операторы Тьюкольского в виде

откуда очевидно соотношение

Учитывая связь (13) между источниками, находим, что с точностью до решений однородных уравнений величины должны быть связаны соотношением (10). Заметим, что для проекционных операторов связывающих -потенциалом, также имеет место соотношение

в калибровке потенциалов, при которой отличны от нуля Имеется также связь между проекторами

(в этих формулах под понимаются операторы, получающиеся из с помощью замены

Аналогичные утверждения можно сделать для не зависящих от времени осесимметричных возмущений метрики, порождаемых распределением материи, описывающимся тензором энергии-импульса с единственными отличными от нуля компонентами

и зависящими от . Такое распределение материи удовлетворяет условию консервативности, если

В этом случае также можно сделать замену (11) в выражениях для проекционных операторов (6.18), (6.21), в результате чего получим

и, следовательно,

Операторы Тьюкольского (7.1) при переходят в

и связаны соотношением

Таким образом, с точностью до решений однородных уравнений находим

или

Объединяя это соотношение с формулой (10) для электромагнитных возмущений, получаем

Это равенство можно также установить, комбинируя перекрестные соотношения (5.27) и (5.28) для электромагнитного и (6.70) и (6.71) для гравитационного полей с уравнением (7.4). Так, формулу (9) можно получить непосредственно из (2.27), учитывая явный вид операторов Тьюкольского (14). Несколько сложнее доказать (24) исходя из (6.70). Предварительно, воспользовавшись представлением

убедимся в справедливости операторного равенства

с помощью которого (6.70) переписывается в виде

Далее, воспользовавшись уравнением (7.4) при вне области локализации источника, представим (28) в форме

С помощью формулы (4.41) в первом слагаемом сделаем преобразование

(при этом было использовано легко проверяемое тождество

После подстановки (30) в (29) происходят сокращения, и мы получаем равенство (23) под знаком оператора К аналогичному результату приводит соотношение (6.71).