Формализм изотропной тетрады

Откладывая исследование общего случая метрики Керра — Ньюмена до гл. VII, где будет рассматриваться массивное заряженное скалярное поле, обратимся к дальнейшему анализу уравнения для вещественного безмассового скалярного поля в пространстве-времени Керра. Возможность разделения переменных в йолновом уравнении (9) при была показана Картером [24], и затем явное решение задачи получено в [90]. Как и в случае уравнения Гамильтона — Якоби (§ 3), полное разделение оказывается возможным благодаря существованию тензорного поля Штеккеля — Киллинга (1.57). Можно показать, что два дифференциальных оператора первого порядка

и оператор второго порядка

коммутируют с оператором Даламбера множестве решений уравнения Для операторов (4.28) это следует из соотношений

(в рассматриваемом случае и антисимметрии а для квадратичного оператора (29) — из соотношений (1.28), (1.30) [45] (при )

Введем операторы Ньюмена — Пенроуза (производные по направлениям векторов тетрады)

С помощью соотношений (1.52) нетрудно проверить, что операторы, получающиеся в результате перестановки и векторов тетрады в (31), можно записать в виде

где были учтены соотношения между спиновыми коэффициентами Записывая теперь контравариантный метрический тензор в виде разложения по векторам тетрады, представим оператор Даламбера в форме

Для дальнейшего анализа волновых уравнений в метрике Керра целесообразно ввести следующий набор операторов [91, 92]:

где - целые или полуцелые числа (или нуль). В терминах этих операторов введенные выше производные по направлениям (применительно к скалярам) принимают вид

В дальнейшем будут постоянно встречаться коммутаторы операторов (34) — (37) с различными степенями спиновых

коэффициентов Нетрудно убедиться в справедливости следующих соотношений:

(аналогично для а также

(и аналогично для Воспользовавшись также легко проверяемым тождеством

(то же для и учитывая явный вид спиновых коэффициентов (1.53), можно получить следующие представления для семейств операторов типа (32) (применительно к скалярам) с коэффициентами более общего вида:

( целые, полуцелые числа или нуль).

Используя соотношения (41) — (45), оператор Даламбера (33) можно представить в форме

В квадратных скобках здесь стоит сумма операторов, один из торых не зависит от (и не содержит дифференцирования по б), а второй не зависит от (и не содержит дифференцирования по . Кроме того, координаты входят лишь в производные. Поэтому коммутативность (46) с операторами (28), имеющими явный вид

очевидна. Квадратичный оператор с помощью представления (1.57) тензора Штеккеля — Киллинга и формул (32) можно записать в виде

и далее, воспользовавшись соотношениями (41) — (45), привести его на множестве скалярных функций к форме

Заменив в первом слагаемом в квадратных скобках на и сопоставляя результат с (46), найдем

На множестве решений уравнения Даламбера второй член обращается в нуль, и мы получаем

При оператор очевидно, сводится к оператору квадрата углового момента