Потенциалы Дебая

В работе [105] было показано, что решения уравнений Максвелла без источников в вакуумных пространствах типа могут быть построены дифференцированием функций, выполняющих роль дебаевских потенциалов. Существуют два типа таких потенциалов, причем уравнения, связывающие поля и потенциалы, а также уравнения для самих потенциалов получаются друг из друга с помощью замены Попутно можно получить удобные формулы и для возмущений 4-потенциала электромагнитного поля Здесь мы дадим вывод уравнений для потенциалов Дебая, отличный от [105], основывая построение на коммутативности операторов (а также других пар такого типа из (4.34) — (4.37) между собой. Рассмотрим соотношение (27), связывающее функции Это соотношение можно превратить в тождество, полагая

где некоторая комплекснозначная функция координат. Подставим затем (35), (36) в уравнение Максвелла (17) — (20), полагая правые части равными нулю . С помощью преобразований, основанных на использовании коммутаторов

можно показать, что эта система удовлетворяется тождественно, если наряду с (35) и (36) положить

и потребовать, чтобы потенциал Дебая удовлетворял уравнению

С помощью функции можно найти также тетрадные проекции 4-потенциала Проектируя соотношение

на векторы изотропной тетрады, имеем

где В рассматриваемом случае на 4-потен-диал можно наложить калибровочные условия, ограничивающие число отличных от нуля тетрадных проекций. Одной из допустимых является in-калибровка [98], в которой 4-потенциал является поперечным на горизонте будущего и изотропной бесконечности прошлого

Сопоставляя формулы (40) — (42) с (35) — (37), нетрудно установить вид отличных от нуля тетрадных проекций

Аналогичное построение можно осуществить исходя из соотношения (28). Используя коммутационные соотношения (4.39) — (4.41), находим, что (28) обращается в тождество подстановкой

Далее подставляя (46), (47) в уравнения Максвелла (17) — (20) без источников, получаем, что система тождественно удовлетворяется, если положить

при условии, что потенциал Дебая подчиняется уравнению

Для такого выбора потенциала Дебая (фактически две системы величин (35) — (38) и (46) — (49) связаны между собой преобразованием симметрии естественной является калибровка 4-потенциала [98]

В этой калибровке является поперечным на горизонте прошлого и изотропной бесконечности будущего. Сопоставление формул (46) — (48) с (35) — (37) с учетом (50) показывает, что отличные от нуля тетрадные проекции 4-потенциала в out-калибровке имеют вид

Итак, потенциалы Дебая позволяют построить решения свободных уравнений Максвелла в двух различных формах с помощью двукратного дифференцирования. При наличии источников в некоторой ограниченной области проведенными выше построениями можно воспользоваться вне этой области, а затем потребовать, чтобы найденные величины были сшиты с решением в области, где которое можно найти, воспользовавшись разделенными уравнениями (21), (23) для Заметим, что потенциалы (44), (45) и (51), (52) порождают самодуальный бивектор согласно (39); максвелловский тензор определяется вещественной частью