§ 12. РАДИАЦИОННОЕ ТРЕНИЕ В ПОЛЕ КЕРРА

Построенные в § 7 функции Грина для полевых возмущений различного спина позволяют решить задачу о силе радиационного трения, которая действует на частицу, движущуюся в поле

Керра и излучающую скалярные, электромагнитные или гравитационные волны [113]. Оказывается, что в силу нестатичности метрики сила радиационного трения остается отличной от нуля и для частицы, покоящейся относительно бесконечно удаленного наблюдателя, когда излучение отсутствует. Ее происхождение связано с ненулевой передачей момента импульса черной дыре от внешних полей, не обладающих аксиальной симметрией (§ 9). «Статическая» реакция излучения в метрике Керра играет, таким образом, роль противодействия приливному трению Хокинга [55]. Заметим, что помимо силы реакции излучения на частицу, покоящуюся (в указанном выше смысле) в поле Керра, действует еще «аномальная» сила, обусловленная деформацией кулоновского поля частицы во внешнем гравитационном поле Эта сила возникает за счет части собственного поля частицы, симметричной относительно отражения времени и неисчезающей при переходе к метрике Шварцшильда. Приливное трение обусловлено нестатичностью метрики Керра (т. е. асимметрии при замене поэтому соответствующее воздействие на источник возмущений связано с нечетной частью собственного поля (это обстоятельство не учитывалось в более ранних расчетах приливного трения, см., например,

Радиационные функции Грина

С помощью построенных в § 7 запаздывающих функций Грина можно получить простые выражения для соответствующих радиационных функций Грина

Учитывая вещественность запаздывающих функций, а также общее соотношение можем переписать (12.1) в виде

Подставляя выражение (7.111) в (2) и выделяя в явном виде радиальную часть, получим следующее представление для радиационной функции Грина:

где для сокращения записи у радиальных и угловых функций опущены индексы

Для дальнейших преобразований введем «ненормированные» радиальные функции, отличающиеся от (7.66) и (7.67) отсутствием коэффициентов

Сравнивая асимптотики функций (7.66) и (7.67) при можно убедиться в справедливости следующих соотношений:

где «индикатор» сверхизлучения. Заметим также, что в силу равенства (7.83), связывающего значения коэффициентов с противоположными выполняется соотношение

т. е. эта величина вещественна.

Радиальные моды типа (7.67) нормированы таким образом, чтобы имели место формулы (7.42), (7.43) для и (7.54), (7.55) для что достигается выбором коэффициентов в соответствии с равенствами (7.80) и (7.81). Поскольку эти коэффициенты комплексны, для мод «out» и «down» формулы связи между функциями с противоположными приобретают дополнительные множители. Чтобы найти их, подставим разложения (5) и (6) в (7.42), (7.43) и (7.54), (7.55) для соответственно и воспользуемся соотношениями (7.80) - (7.83). В результате оказывается, что для радиальных функций и формулы связи (7.42), (7.43), (7.54) и (7.55) выполняются, если эти функции дополнительно умножить на Учитывая выбор коэффициентов, выражаемый формулами (7.109), можно также написать соотношение

где оператор определяется из формул (7.42), (7.43), (7.54) и (7.55) для соответственно

Вводя в формулу (3) оператор действующий на переменную перепишем (3) в виде

Учитывая (7.56) и (4), легко заметить, что в квадратных скобках стоят комбинации «ненормированных» функций

которые можно преобразовать с помощью (5),

С другой стороны, из (6) имеем

Исключая из (12) и (13) члены, пропорциональные и используя условие сохранения потока (7.71), находим

Поскольку левая часть этого равенства при замене на переходит в комплексно-сопряженную величину, в то время как в правой части помимо комплексного сопряжения требуется замена можно прийти к выводу, что это выражение симметрично относительно аргументов . В результате сложения функций Хевисайда в (11), возвращения к исходным радиальным функциям и повторного применения соотношения (8) из (10) получим

Наконец, воспользовавшись явным видом коэффициентов и (7.109), окончательно будем иметь

Заметим, что радиационные функции Грина непрерывны в точке будучи построенными из решений однородных волновых уравнений, удовлетворяют линеаризованным уравнениям Эйнштейна уравнениям Максвелла и уравнению Даламбера по каждому из аргументов

где операторы, введенные в § 6.