Длинноволновое приближение

Для волн малых частот решения радиального уравнения можно построить аналитически [95, 96] с помощью склейки приближенных решений, справедливых в окрестности особых точек. В этом случае спиновые сфероидальные гармоники хорошо аппроксимируются спиновыми сферическими гармониками

а собственные значения равны В обозначениях (4.84), (4.85) радиальное уравнение (117) при принимает вид

Решение этого уравнения, регулярное на горизонте (типа выражается через гипергеометрическую функцию

В силу свойства (23) радиального оператора вторым решением будет Решение типа (представляющее собой расходящуюся волну при получим, взяв сумму этих двух решений:

где для перехода ко второй строчке мы воспользовались соотношением, связывающим гипергеометрические функции со взаимно, обратными аргументами. Решения (127) и (129) фактически совпадают со статическими решениями [98—100], зависимость от со имеется лишь через величину

В области радиальное уравнение (117) аппроксимируется следующим:

причем (с учетом поправок где не целое. При этом два линейно-независимых решения (130) можно выбрать в виде

где вырожденная гипергеометрическая функция. Асимптотическое поведение некоторой линейной комбинации решений (131) при малых х совпадает с асимптотическим поведением решения (128) при больших х, что и следовало ожидать, поскольку эти решения получены в перекрывающихся областях. После того как сшивание произведено, можно положить (предварительна раскрыв неопределенности в отношениях гамма-функций). В результате

найдем, что решение (128) в области больших х склеивается со следующей комбинацией решений (131):

Далее, воспользовавшись асимптотическим разложением вырожденной гипергеометрической функции при больших значениях аргумента

можно получить функции нормированные в соответствии с (66), (67):

Одновременно при сшивании определяются значения коэффициентов отражения и прохождения в длинноволновом приближении