СИ в медленно изменяющемся гравитационном поле
Возможность аналитического решения задачи о синхротронном излучении релятивистской заряженной частицы, движущейся по круговой орбите вокруг черной дыры, демонстрирует эффективность методов решения волновых уравнений в пространстве-времени Керра, однако уже то, что найденные выражения (28), (30) имеют такой же функциональный вид, что и результаты теории СИ в пространстве Минковского (см. также аналогичные вычисления в метрике Керра-Ньюмена [174, 227]), наводит на мысль, что они могут быть получены более просто. Покажем, что формулы (28), (30) можно вывести путем преобразования величин, рассчитанных в локально-геодезической системе отсчеста, а
которой пространство-время является плоским [217]. Такая процедура применима и в более общем случае ультрарелятивистской заряженной частицы, движущейся в электромагнитном поле
в искривленном пространстве-времени с медленно изменяющимися параметрами. Именно необходимо, чтобы длина формирования основной части спектра
была мала по сравнению с масштабом
изменения гравитационного и электромагнитного полей. При этом характерная длина волны в спектре излучения имеет порядок
причем волновая зона начинается на расстояниях, малых по сравнению с
Можно поэтому рассматривать излучение в локально-геодезической системе отсчета, начало которой находится в некоторой средней точке дуги формирования
как излучение в пространстве Минковского. Переход от локально-геодезической системы координат
к общей системе координат осуществляется с помощью соотношения
где
в точке
В терминах координат квадрат интервала равен
Будем считать, что начало системы координат
выбрано в точке
мгновенного положения частицы. При сделанных предположениях волновая зона в системе
начинается на расстояниях, много меньших масштаба неоднородности
гравитационного поля, поэтому для вычисления мощности СИ ультрарелятивистской частицы можно воспользоваться формулой электродинамики в пространстве Минковского
где
волновой вектор фотона в локальной системе,
величина
вычисляется в момент собственного времени
и пределы интегрирования по
растянуты до бесконечных пределов ввиду быстрой сходимости интеграла. Учитывая, что СИ формируется на малом участке траектории, представляем
в виде разложения
после чего интеграл в (37) выражается через функцию Макдональда:
где
В случае, если
существует локально-геодезическая система отсчета, в которой поле является чисто магнитным. В этом случае можно показать, что для ультрарелятивистской частицы с точностью до членов порядка
выполняется соотношение
Вводя инвариантную переменную
и выполнив интегрирование по углам вектора
найдем спектральное распределение СИ
где
— полная интенсивность излучения в локальной системе.
Чтобы теперь получить формулы, описывающие СИ в асимптотически плоском пространстве-времени в терминах величин, отнесенных к глобальной системе координат, достаточно преобразовать волновой вектор
в (39), (41) к общей координатной системе по формуле
выразить
через параметры, определенные в глобальной системе; к этой системе следует также преобразовать саму величину
. Чтобы, например, получить спектральное распределение СИ ультрарелятивистской частицы, движущейся по круговой орбите в магнитном поле в пространстве-времени Керра (4.30), выберем ориентацию осей системы координат
вдоль координатных линий локально-статической системы отсчета
Далее нетрудно показать, что
а ускорение частицы, движущейся по окружности, в локально-геодезической системе равно
где
определяется формулой (3.65). Подставляя (43) в (40), получаем (с учетом того, что
с точностью до членов
выражение (20). Переходя к интенсивности излучения, отнесенной к координатному времени Бойера — Линдквиста
сооёоз), Для величины I получаем из (41) найденную выше формулу (29) [216].
Приведенные выше рассуждения справедливы и для уравнения Дирака, записанного в локально-геодезической системе отсчета. Можно поэтому утверждать, что и квантовые поправки к спектру СИ в этой системе будут определяться выражением (13.44), справедливым в пространстве Минковского. Произведя: соответствующие преобразования переменных, для мощности СИ ультрарелятивистской частицы в поле Шварцшильда с учетом квантовых поправок из (13.45) найдем (в системе
) [216, 217]
где
масса частицы. Соответствующая формула для метрики Керра имеет вид
В этих формулах
является функцией
поэтому зависимость квантовых поправок от энергии иная, чем в случае плоского пространства-времени.