СИ в медленно изменяющемся гравитационном поле

Возможность аналитического решения задачи о синхротронном излучении релятивистской заряженной частицы, движущейся по круговой орбите вокруг черной дыры, демонстрирует эффективность методов решения волновых уравнений в пространстве-времени Керра, однако уже то, что найденные выражения (28), (30) имеют такой же функциональный вид, что и результаты теории СИ в пространстве Минковского (см. также аналогичные вычисления в метрике Керра-Ньюмена [174, 227]), наводит на мысль, что они могут быть получены более просто. Покажем, что формулы (28), (30) можно вывести путем преобразования величин, рассчитанных в локально-геодезической системе отсчеста, а

которой пространство-время является плоским [217]. Такая процедура применима и в более общем случае ультрарелятивистской заряженной частицы, движущейся в электромагнитном поле в искривленном пространстве-времени с медленно изменяющимися параметрами. Именно необходимо, чтобы длина формирования основной части спектра была мала по сравнению с масштабом изменения гравитационного и электромагнитного полей. При этом характерная длина волны в спектре излучения имеет порядок причем волновая зона начинается на расстояниях, малых по сравнению с Можно поэтому рассматривать излучение в локально-геодезической системе отсчета, начало которой находится в некоторой средней точке дуги формирования как излучение в пространстве Минковского. Переход от локально-геодезической системы координат к общей системе координат осуществляется с помощью соотношения

где в точке В терминах координат квадрат интервала равен Будем считать, что начало системы координат выбрано в точке мгновенного положения частицы. При сделанных предположениях волновая зона в системе начинается на расстояниях, много меньших масштаба неоднородности гравитационного поля, поэтому для вычисления мощности СИ ультрарелятивистской частицы можно воспользоваться формулой электродинамики в пространстве Минковского

где волновой вектор фотона в локальной системе, величина вычисляется в момент собственного времени и пределы интегрирования по растянуты до бесконечных пределов ввиду быстрой сходимости интеграла. Учитывая, что СИ формируется на малом участке траектории, представляем в виде разложения

после чего интеграл в (37) выражается через функцию Макдональда:

где

В случае, если существует локально-геодезическая система отсчета, в которой поле является чисто магнитным. В этом случае можно показать, что для ультрарелятивистской частицы с точностью до членов порядка выполняется соотношение Вводя инвариантную переменную

и выполнив интегрирование по углам вектора найдем спектральное распределение СИ

где — полная интенсивность излучения в локальной системе.

Чтобы теперь получить формулы, описывающие СИ в асимптотически плоском пространстве-времени в терминах величин, отнесенных к глобальной системе координат, достаточно преобразовать волновой вектор в (39), (41) к общей координатной системе по формуле выразить через параметры, определенные в глобальной системе; к этой системе следует также преобразовать саму величину . Чтобы, например, получить спектральное распределение СИ ультрарелятивистской частицы, движущейся по круговой орбите в магнитном поле в пространстве-времени Керра (4.30), выберем ориентацию осей системы координат вдоль координатных линий локально-статической системы отсчета

Далее нетрудно показать, что а ускорение частицы, движущейся по окружности, в локально-геодезической системе равно

где определяется формулой (3.65). Подставляя (43) в (40), получаем (с учетом того, что с точностью до членов выражение (20). Переходя к интенсивности излучения, отнесенной к координатному времени Бойера — Линдквиста сооёоз), Для величины I получаем из (41) найденную выше формулу (29) [216].

Приведенные выше рассуждения справедливы и для уравнения Дирака, записанного в локально-геодезической системе отсчета. Можно поэтому утверждать, что и квантовые поправки к спектру СИ в этой системе будут определяться выражением (13.44), справедливым в пространстве Минковского. Произведя: соответствующие преобразования переменных, для мощности СИ ультрарелятивистской частицы в поле Шварцшильда с учетом квантовых поправок из (13.45) найдем (в системе ) [216, 217]

где масса частицы. Соответствующая формула для метрики Керра имеет вид

В этих формулах является функцией поэтому зависимость квантовых поправок от энергии иная, чем в случае плоского пространства-времени.