Разделение переменных

Построим сначала систему общих собственных функций коммутирующих операторов и R:

где — собственные значения. Решениями уравнений (53) и (54) являются экспоненты,

а уравнение (55) имеет стандартную форму уравнения для сплюснутых сфероидальных функций [93] с собственным значением Нумерация собственных значений и собственных функций оператора осуществляется целым неотрицательным числом I, причем для (см. Дополнение). Поэтому

и в результате общие собственные функции операторов (53) — (55,) принимают вид

где радиальная функция, подлежащая определению из уравнения Даламбера Функции вещественны и образуют ортогональную систему, которую условимся нормировать с помощью равенства

Будут также использоваться полные сфероидальные гармоники

очевидно, удовлетворяющие условию ортонормированности

Подставляя функции (58) в уравнение Даламбера (9), для радиальной части найдем

где введено обозначение

Переходя к черепашьей координате

и новой радиальной функции

получим уравнение, не содержащее первой производной

где эффективный потенциал равен

Уравнение (65) имеет вид одномерного уравнения Шредингера с

короткодействующим потенциалом. При выражение (66) стремится к постоянной

и, следовательно, существуют решения представляющие собой асимптотически расходящиеся и сходящиеся волны:

(здесь учтено, что при ).

По мере приближения к горизонту событий потенциал также стремится к константе

где угловая скорость черной дыры (1.21), и, значит, существуют решения обладающие вблизи горизонта асимптотическим поведением

Поскольку величина является знакопеременной (при физический смысл решений (71) заранее не очевиден. Для того чтобы выяснить, является ли волна в окрестности горизонта сходящейся или расходящейся, нужно перейти в систему отсчета физического наблюдателя, который внутри эргосферы должен вращаться с угловой скоростью, лежащей в интервале (1.15). При эта угловая скорость стремится к угловой скорости черной дыры. Для такого наблюдателя координата в выражении следовательно, (локальная) координатная зависимость полевых мод от такова:

Из этих рассуждений следует, что решение представляет собой вблизи горизонта событий расходящуюся, а сходящуюся волну, хотя фазовая скорость для

при меняет знак. Заметим, что групповая скорость при этом остается знакоопределенной:

Поскольку эффективный потенциал имеет вид потенциального барьера, спадающего при расходящаяся при

волна в области слева от барьера будет представлять собой суперпозицию падающей и отраженной волн

где параметры и а определяют коэффициенты прохождения и отражения от барьера. Здесь символом обозначена знаковая функция

и индексы опущены.

Второе линейно независимое решение удобно выбрать так, чтобы при присутствовала только падающая волна

что соответствует волне, приходящей из бесконечности, испытывающей частичное отражение (с коэффициентом отражения и частично поглощаемой черной дырой (обозначения соответствуют работе [94]).

Поскольку оператор, стоящий в левой части уравнения (66), вещественный, то также будут решениями этого уравнения. Из условия постоянства вронскианов

приравнивая асимптотические значения при для различных пар из четырех решений получаем соотношение между коэффициентами

Второе слагаемое в левой части (79) всегда положительно, в то время как первое слагаемое становится отрицательным (при если

В этом случае коэффициент отражения падающей волны от черной дыры будет больше единицы, т. е. волна испытывает усиление при отражении. В этом состоит предсказанный Зельдовичем и Ч. Мизнером и рассчитанный явно А. А. Старобинским. эффект суперрадиации [10—12]. В режиме суперрадиации фазовая скорость падающей на черную дыру волны вблизи горизонта событий направлена от черной дыры (групповая скорость остается; направленной внутрь черной дыры).

С учетом равенства (79), выражающего сохранение потока, можно получить следующие соотношения между радиальными функциями и комплексно-сопряженными к ним функциями:

которые оказываются полезными при решении задачи о радиационном трении для частиц, движущихся в окрестности черных дыр.