Потеря углового момента

Пользуясь тем же методом, можно вычислить момент силы, действующей на черную дыру во внешнем электромагнитном поле. Согласно теореме Хокинга [25, 21], при вращении черной дыры, во внешнем поле любой природы, не обладающем аксиальной симметрией, возникает явление, аналогичное приливному трению, в результате чего черная дыра теряет угловой момент. Если внешнее поле само обладает осью симметрии (не совпадающей с осью симметрии черной дыры), то происходит потеря проекции момента на плоскость, перпендикулярную оси симметрии внешнего поля [152—154], т. е. ось вращения черной дыры как бы поворачивается вплоть до совмещения с осью симметрии поля. Здесь мы рассмотрим общий случай однородных электрического и магнитного полей, произвольно ориентированных в пространстве. Такое внешнее поле уже не обладает аксиальной симметрией (за исключением коллинеарной конфигурации), поэтому можно ожидать, что черная дыра будет полностью терять свой момент вращения.

Ограничиваясь случаем медленного вращения вычислим момент силы, действующей на токонесущую оболочку, создающую однородное поле (32) внутри нее. Оказывается, что при учете лишь линейных членов по параметру вращения а ненулевой (конечный) при вклад в декартовы компоненты плотности силы дают лишь члены разложения порядка

Поэтому при вычислении момента силы можно воспользоваться формулой, справедливой в плоском пространстве

где под понимается трехмерный вектор с компонентами

отнесенный к асимптотической декартовой системе координат. В результате вычисления интеграла (48) в пределе находим

Равный и противоположно направленный момент силы приложен к черной дыре. Результирующее уравнение для изменения углового момента дыры можно написать в трехмерном векторном виде

При и выборе направления декартовых осей так, что получаем уравнения, рассмотренные в [155—156]

из которых следует

где время затухания поперечной к В компоненты момента равно

В рассматриваемом нами более общем случае, как следует из уравнения (51), проекция (так же как и проекция на любой другой вектор) уже не является интегралом движения (за

исключением случая коллинеарных полей . Для решения уравнения (51) перейдем к матричной записи

где матрица с компонентами

Покажем, что эта матрица не вырождена и положительно определена, за исключением случая коллинеарных Действительно, соответствующая квадратичная форма имеет вид

где — углы между векторами соответственно. Выражение (57) неотрицательно, причем его обращение в нуль возможно лишь, если равны нулю одновременно, при коллинеарных

Найдем далее собственные значения матрицы обозначая их через . Уравнение на собственное значение с учетом (56) можно записать в виде

где собственные векторы. Из этой формулы очевидно, что одним из собственных векторов будет вектор Пойнтинга внешнего поля при этом левая часть (58) обращается в нуль, и для собственного значения получаем

Два других собственных вектора, следовательно, лежат в плоскости, образуемой Умножая (58) поочередно на находим систему уравнений для проекций , разрешив которую получаем искомые собственные значения

(заметим, что выражение под корнем неотрицательно). В случае коллинеарных как видно из (60), матрица становится вырожденной: причем два других собственных значения совпадают. В случае взаимно перпендикулярных

В общем случае для собственных значений матрицы имеет место соотношение

Разложив вектор углового момента по собственным векторам матрицы для соответствующих проекций будем иметь

Для коллинеарных и мы возвращаемся к случаю В случае взаимно перпендикулярных черная дыра сначала теряет компоненту момента, ортогональную плоскости, образованной (соответствующее время релаксации, в 2 раза меньше), а затем компоненты, лежащие в одной плоскости с В общем случае релаксация углового момента подчиняется правилу (61).