Аналитическое расширение

Метрика Керра — Ньюмена в координатах Бойера — Линдквиста (1) имеет особенность на поверхностях (значение второго корня уравнения (17) задает положение внутреннего горизонта черной дыры — горизонта Коши). Если ввести запаздывающую систему координат Эддингтона — Финкельштейна с помощью замены -форм

метрика становится несингулярной на горизонте событий

Она, однако, несимметрична относительно отражения времени из-за наличия члена Это проявляется в том, что поверхность не пропускает направленные в будущее времениподобные и изотропные кривые, выходящие из области во внешнюю область. Альтернативная система опережающих координат задается подстановкой

она также несингулярна при однако в ней поверхность пропускает направленные в будущее мировые линии частиц лишь из черной дыры наружу. Явные выражения для можно получить, интегрируя соотношение задающее «черепашью» координату

Из (34) и (36), очевидно, будем иметь При больших черепашья координата близка к при стремится к . В области координата вновь пробегает бесконечный интервал, причем при Аналитическое расширение пространства-времени Керра — Ньюмена до геодезически полного (с точностью до наличия кольцевой сингулярности при многообразия осуществляется с помощью введения координат типа Крускала, которые в области связаны с соотношениями

и принимают в ней значения

Распространение областей изменения на полные прямые приводит к многообразию, состоящему из четырех областей показанных на рис. 1. Область II, в которой изометрична области в системе координат (36), область изометрична той же области в системе координат (35), кроме того, возникает еще один экземпляр внешнего пространства (область , в которое можно попасть, двигаясь по направленным в будущее времениподобным или изотропным линиям из области II.

Подобное аналитическое продолжение можно далее провести и на внутреннем горизонте в результате появляется бесконечная последовательность чередующихся областей типа I и II, изображенная на рис. 1 (подробнее см. в [5, 35, 36]). Области типа

Рис. 1. Диаграмма Пенроуза аналитического продолжения метрики Керра—Ньюмена при Точка отвечает кольцевой сингулярности при Многообразие аналитически продолжается в область через диск границей которого является кольцевая сингулярность

III, лежащие внутри поверхности содержат сингулярность при (при этом обращается в нуль величина 2 в (1), а инварианты кривизны бесконечны); сингулярность метрики Керра — Ньюмена является таким образом границей диска внутри которого метрика не имеет особенностей. Ее можно поэтому аналитически продолжить внутрь кольцевой сингулярности на область отрицательных значений координаты вплоть до . Это приводит к усложнению причинной структуры многообразия. Вблизи кольцевой сингулярности вектор Киллинга становится времениподобным, а его замкнутые орбиты будут представлять собой замкнутые времениподобные кривые. Эти патологические особенности, однако, не могут повлиять на происходящее во внешней области Небезынтересно также отметить, что эффекты поляризации вакуума квантовой теории поля приводят к разрушению внутреннего горизонта.