Поле Керра — Ньюмена в формализме Ньюмена — Пенроуза [48-50]

Метрика Керра — Ньюмена принадлежит к вырожденному типу по классификации Петрова. Как следует из теоремы Гольдберга — Сакса [54], главные изотропные конгруэнции в этом случае являются геодезическими и бессдвиговыми; В координатах Бойера — Линдквиста эти кривые определяются системой уравнений

где k — афинный параметр. При построении тетрады Ньюмена — Пенроуза естественно в качестве вещественных изотропных векторов выбрать векторы, касательные к кривым (39). Для верхнего знака в (39) имеем

Второй изотропный вектор, нормированный условием

получим, умножая (39) с нижним знаком на

Ортогональный к комплексный изотропный вектор удовлетворяющий условию нормировки

можно задать в виде

Теперь нетрудно убедиться в том, что метрический тензор допускает разложение

где ковариантные компоненты векторов изотропной тетрады равны

Описанная тетрада была введена Киннерсли [52] (в координатах Керра), случай метрики Керра — Ньюмена рассматривался в [53].

Обратимся к построению спиновых коэффициентов для данной тетрады. Поскольку векторы и направлены вдоль

вырожденных изотропных направлений тензора Вейля, обращаются в нуль спиновые коэффициенты

а из всех тетрадных проекций тензора Вейля

отлична от нуля лишь

Далее в силу выбора для конгруэнции изотропных геодезических афинного параметра обращается в нуль также спиновый коэффициент

Отличные от нуля спиновые коэффициенты

можно вычислить разлагая ковариантные производные от векторов изотропной тетрады снова по векторам тетрады

(в этих формулах учтено, что Явный вид спиновых коэффициентов следующий:

причем выполняются соотношения

Все тетрадные проекции тензора Риччи обращаются в нуль за исключением

Поскольку векторы и являются также главными изотропными направлениями для тензора электромагнитного поля (7), отлична от нуля лишь одна тетрадная проекция максвелловского тензора

Тензор Штеккеля-Киллинга (29) в терминах компонент векторов изотропной тетрады имеет простой вид

(совпадение различных представлений очевидно при учете (45). Наконец, антисимметричный тензор Яно - Киллинга можно получить интегрированием уравнений (31) в формализме Ньюмена — Пенроуза [47], что приводит к результату

Подставляя (58) в (32), получим (57). Нетрудно также убедиться в справедливости соотношения (30), учитывая, что максвелловский тензор поля Керра — Ньюмена в формализме Ньюмена Пенроуза имеет вид

След от антисимметризованного произведения (58) и (59) обращается в нуль в согласии с (33).

На горизонте событий черной дыры тетрада Киннерсли сингулярна, причем особенность не устраняется и после перехода к координатам Эддингтона — Финкелыитейна, как это видно из равенства

Можно, однако, сделать преобразование Лоренца (тетрадный поворот), не изменяющее векторов так, чтобы преобразованные векторы

были бы несингулярны на горизонте будущего:

(тетрада Хартли — Хокинга [55]). Нормировка вектора выбрана так, что нормировка псоответствует соглашению (41).