Преобразование радиального уравнения к уравнению с вещественным потенциалом
Интегрирование радиальных уравнений (22) или (57) при 
осложняется тем, что эффективные потенциалы становятся комплексными. При решении конкретных задач удобнее иметь дело с вещественными потенциалами, в этом случае, в частности, проще строятся квазиклассические приближения и т. п. Преобразование к уравнению с вещественным потенциалом при всех 
было построено Чандрасекаром и Детвейлером [117—119]. В основе техники преобразования лежат соотношения (42), (43), (54), (55) между радиальными функциями с противоположными по знаку значениями 
. В эти соотношения входят дифференциальные операторы второго (для 
и четвертого (для 
) порядков. Поскольку сами радиальные функции удовлетворяют уравнениям второго порядка, то высшие призводные можно выразить через сами функции и их первые производные. В результате получим соотношения вида
где 
постоянные, 
некоторые функции и для упрощения записи опущены все индексы, кроме 
Функции 
удовлетворяют радиальному уравнению Тьюкольского
где штрихом обозначена производная по 
Подстановка (116) в (117) и исключение высших производных от 
с помощью того же уравнения (с противоположным 
приводит к уравнению для 
имеющему интеграл
Введем величины 
связанные с 
соотношениями
С помощью (119) нетрудно установить, что
Если теперь составить комбинацию радиальных функций вида
то для нее мы также получим дифференциальное уравнение второго порядка, которое не будет содержать первых производных по черепашьей координате
причем новый потенциал связан с (58) соотношением
Входящие в дополнительный член в (124) функции 
и комплексны, в конечном счете они определяются (через (120)) соотношениями между радиальными функциями с противоположными 
Путем прямых, но весьма громоздких вычислений можно убедиться в том, что мнимая часть суммы (124) обращается в нуль, т. е. функция 
удовлетворяет уравнению с вещественным потенциалом (подробнее см. § 11).
Хотя описанная процедура может показаться искусственной, она удобна благодаря симметрии между прямым и обратным преобразованиями (122). Дифференцируя (122) по 
исключая вторую производную от 
с помощью (117) и затем выражая первую производную с помощью исходного уравнения через 
найдем обратное преобразование
Аналогичным образом можно построить преобразование, обратное к (116):
Изложенный алгоритм получения радиальных уравнений с вещественным короткодействующим потенциалом является лишь одним из возможных, альтернативное построение см. в работе [120].
