Шварцшильдова черная дыра в магнитной Вселенной

Применяя преобразование (5) к потенциалу Эрнста пространства-времени Шварцшильда приходим к новому решению с интервалом

где совпадающему со шварцшильдовым при и с интервалом Мелвина при Отсюда естественна интерпретация (6) как решения, описывающего невращающуюся

черную дыру, погруженную в асимптотически однородное магнитное поле. Вектор-потенциал, задающий последнее, имеет вид

Пространство-время не является асимптотически плоским. Характерной особенностью является различие пространственных сечений Длина окружности с центром в сингулярности, лежащей в плоскости растет при в то время как длина окружности в плоскости есть эта величина стремится к нулю при .

Горизонт событий, как видно из (6), по-прежнему лежит при и несингулярен, не изменяется и поверхностная гравитация так как при метрика совпадает со шварцшильдовой, а величина х постоянна на горизонте. Подробнее свойства горизонта исследовались в [67]. Приведем отличные от нуля символы Кристоффеля для метрики (6)

где и компоненты тензора электромагнитного поля

Двумерное пространственное сечение геометрии Шварцшильда можно представить как некоторую поверхность вращения в трехмерном пространстве, тогда проекции силовых линий на плоскость, ортогональную оси вращения, будут параллельными, в этом смысле можно говорить об однородности поля [68]. В случае существует область в которой пространство-время можно считать шварцшильдовым, в этой области и потенциал (7) совпадает с решением уравнений Максвелла на шварцшильдовом фоне (подробнее см. § 9), описывающим асимптотически однородное магнитное поле. Отличный от нуля инвариант электромагнитного поля

имеет особенность в начале координат, исчезающую при .

Для описания пространства-времени (6) в формализме Ньюмена — Пенроуза удобно ввести изотропный базис, обобщающий (1.40)-(1.44).

в котором проекции тензора Вейля равны [69]

и удовлетворяют тождеству Благодаря последнему удается точно решить характеристическое уравнение, определяющее тип пространства по Петрову: — все четыре корня оказываются различными (тип I [69], при метрика становится вырожденной типа

Воспользовавшись формулой для гауссовой кривизны

(входящие сюда спиновые коэффициенты равны получим выражение для гауссовой кривизны пространственного сечения горизонта событий

где На экваторе гауссова кривизна горизонта меньше, чем на полюсах, где она совпадает со шварцшильдовой величиной. При кривизна на экваторе обращается в нуль и при становится отрицательной, т. е. магнитное поле как бы вытягивает черную дыру вдоль силовых линий.

В классе решений типа «замагниченных» черных дыр метрика Шварцшильда — Эрнста является единственным статическим решением. Для вращающихся черных дыр в магнитном поле возникает индукционное электрическое поле, направленное радиально, и азимутальная составляющая вектора Пойнтинга становится отличной от нуля, что порождает недиагональную компоненту метрики Вектор Пойнтинга также будет отличен от нуля для невращающейся заряженной дыры во внёшнем магнитном поле, соответствующее решение уравнений Эйнштейна уже не будет статическим [65, 70].