Длинноволновое приближение и статический предел

Пусть частица движется достаточно медленно, так что излучаемые частоты удовлетворяют условию . В этом случае все вычисления удается выполнить аналитически, воспользовавшись выражениями (7.134) для радиальных функций. Подставляя эти выражения в (16), находим при

При основной вклад в сумму по в первом слагаемом в фигурных скобках дает минимальное (за исключением случая Во втором слагаемом сходимость ряда определяется отношением Если интересующие нас значения то основной вклад также будет давать член с Относительная величина вкладов от первого и второго слагаемого в фигурных скобках при этом будет различна, однако мы будем удерживать их оба, поскольку они имеют разный физический смысл (описывают

излучение уходящее на бесконечность и поглощаемое черной дырой).

Рассмотрим подробнее случай медленно движущегося заряда, взаимодействующего со скалярным полем. Будем предполагать, что нерелятивистская частица движется с угловой скоростью по окружности радиуса при так что Основной вклад в сумму дают слагаемые (вклады членов обращаются в нуль). Для радиационной части поля в точке с координатами в момент времени получаем

Отсюда находим следующие значения для компонент силы радиационного трения:

При геодезическом движении поэтому второй член в квадратных скобках (поглощение дырой при и усиление при мал по сравнению с первым. Однако при негеодезическом движении вклад второго слагаемого может быть преобладающим. В частности, для частицы, удерживаемой в состоянии покоя временная компонента силы радиационного трения обращается в нуль (потерь энергии не происходит), однако азимутальная компонента остается отличной от нуля

Знак этого выражения соответствует ускорению частицы в направлении вращения черной дыры (напомним, что Следовательно, вращение самой черной дыры в силу доказанного выше глобального сохранения момента должно замедляться. Этот эффект обсуждался в работе Хокинга и Хартля и получил название приливного трения. Его связь с радиационным трением была установлена в работе [113].

Для электрического заряда при тех же предположениях получаем снова формулы (50) с заменой на (множитель 2 обусловлен наличием 2 поляризаций электромагнитных волн). Приведем также результаты расчета силы, действующей на точечный магнитный диполь движущийся таким же образом.

В локально-статической системе отсчета компоненты силы, действующей на диполь при равны

где

Вращательный момент, создаваемый этой силой отличен от нуля.

В случае незаряженной частицы массы создающей лишь гравитационные возмущения, основной вклад в радиационную функцию Грина (при тех же предположениях о характере движения) дают члены . Оставляя лидирующие члены в каждом из двух слагаемых в фигурных скобках в (48), находим

(остальные компоненты малы). Вычисление компонент силы радиационного трения в рассматриваемом приближении приводит к результату

В выражении для при нетрудно узнать сумму основного члена в (10.4) (при описывающего квадрупольное гравитационное излучение, уходящее на бесконечность, и поправки (10.27) на поглощение излучения черной дырой (для геодезического движения второе слагаемое в (55) мало). В статическом пределе азимутальная компонента силы остается конечной, ее отношение к ньютоновской силе при равно