Функции Грина

Решения уравнения Тьюкольского (7.4) для аксиально-симметричных стационарных возмущений удается построить, не прибегая к разделению переменных. Идея метода состоит в сведении оператора Тьюкольского к оператору Лапласа в пространстве высшей размерности. На множестве функций, зависящих лишь от , оператор принимает вид

Введем координаты Вейля

и новую функцию

Уравнение Тьюкольского (7.4) в новых переменных будет иметь форму

где символом обозначен обобщенный оператор Лапласа [125]

и якобиан преобразования координат

Отыскание возмущений сводится, таким образом, к решению обобщенного уравнения Лапласа

с источником зависящим от двух переменных В дальнейшем удобнее иметь дело с оператором при положительных значениях индекса В случае отрицательных воспользуемся операторным тождеством

которое позволяет записать в виде

Построим функцию Грина удовлетворяющую уравнению

Оператор можно понимать как сужение оператора Лапласа в евклидовом пространстве измерений на множество функций, зависящих от двух переменных

Действительно, вводя в -мерном евклидовом пространстве цилиндрические координаты и угловые переменные

оператор Лапласа в этом пространстве представим в виде

где оператор Лапласа-Бельтрами на единичной сфере в -мерном пространстве, действующий на переменные Рассмотрим уравнение Пуассона

где через обозначен вектор

— объем единичной сферы в евклидовом пространстве измерений

Решением уравнения (44) является «кулоновский» потенциал

в чем нетрудно убедиться с помощью теоремы Остроградского—Гаусса.

Перейдем теперь в уравнении (44) к цилиндрическим координатам и проинтегрируем правую и левую части по сферическим; углам вектора учитывая, что элемент объема равен

В результате найдем, что функция

удовлетворяет уравнению

Поскольку нас интересует решение этого уравнения, зависящее только от (ср. с (41)), то без ограничения общности можно положить в т. е. выбрать Тогда функция 31 в (46) равна

и интегрирование по в (48) дает

после чего остается интеграл вида

Учитывая, что применительно к построенному таким способом решению второй член в левой части (49) вклада не дает, а также принимая во внимание соотношение

(53) находим для функции Грина уравнения (41) следующее представление:

При эта функция имеет логарифмическую особенность. Пусть , тогда в интеграле

особенность при у — О формируется в области малых а. Полагая при с логарифмической точностью найдем

Итак, в окрестности особой точки

откуда вновь получаем (41).

Записывая решение уравнения (38) с помощью построенной функции Грина и возвращаясь к переменным получаем

где штрихи означают, что соответствующие величины берутся в точках Построение соответствующих возмущений полей и осуществляется с помощью техники потенциалов Дебая аналогично § 6, однако не прибегая к разделению переменных.