§ 20. МАССИВНОЕ ПОЛЕ СО СПИНОМ 1/2

Уравнение Дирака в искривленном пространстве-времени было записано Фоком и Иваненко еще в 1929 г. [285]. Оно основано на понятии параллельного переноса спиноров с помощью введения спинорной связности в римановом пространстве. Большинство последующих работ основывалось на теории спиноров с характерной двухкомпонентной формой записи уравнений. Это, однако, не обязательно, вся теория может быть сформулирована в четырехкомпонентной форме, более привычной в теории поля в пространстве Минковского. В случае вырожденных метрик по Петрову значительные преимущества дает использование зависящих от координат дираковских матриц, связанных с изотропной тетрадой Ньюмена-Пенроуза. Для метрик типа оказывается возможным полное разделение переменных в уравнении Дирака как для безмассового, так и для массивного полей. Разделение переменных в уравнении безмассового поля со спином 1/2 в метрике Шварцшильда было проведено в работе Брилла и Уилера [286], этот результат затем был обобщен на метрику Керра Унру [287—288] и Тьюкольским Чандрасекар [289] решил эту задачу для массивного поля в метрике Керра, затем Пейджем было сделано то же для метрики Керра-Ньюмена [240] (см. также [290, 291]). Обобщение на класс метрик типа было проведено Гювеном [292]; рассматривался также случай отличной от нуля космологической постоянной [272]. Ниже строится наиболее общий вариант теории Дирака в поле черной дыры, обладающей электрическим и магнитным зарядами и моментом вращения при отличной от нуля космологической постоянной, к которому сводится также случай черной дыры типа -Янга с неабелевыми векторными полями.

Уравнение Дирака в формализме Ньюмена-Пенроуза

Для построения дираковских матриц в искривленном пространстве-времени, с помощью которых «извлекается корень» из

оператора Клейна-Гордона, удобно предварительно ввести тетраду посредством которой метрика локального пространства не зависящая от координат, связана с метрикой пространства-времени

Метрика не обязательно является метрикой Минковскою, достаточно, чтобы ее компоненты были постоянными. В формализме Ньюмена-Пенроуза

(индексы пробегают значения 1, 2, 3, 4 для соответственно). В этом случае отличными от нуля компонентами: будут

Далее строим набор не зависящих от координат матриц «расщепляющих» метрику

выбирая следующее явное представление:

Отметим, что матрицы при эрмитовом сопряжении переходят друг в друга согласно соотношениям

Введем теперь зависящее от координат матрицы Дирака

удовлетворяющие соотношениям антикоммутации

В таком представлении они не эрмитовы и при эрмитовом сопряжении переходят в

Построим постоянную эрмитову матрицу а, чтобы выполнялось соотношение

для чего необходимо потребовать Этим условиям удовлетворяет матрица

Рассмотрим 4-компонентный спинор

состоящий из непунктирного спинора и пунктирного спинора Определим дираково сопряжение с покгощью матрицы а:

при этом билинейная форма эрмитова и, кроме того,

Введем матрицу С зарядового сопряжения исходя из требования которому удовлетворяет

Зарядово сопряженный спинор имеет вид

При условии спинор описывает истинно нейтральное

фермионное поле (майорановский спинор), в этом случае

Помимо матриц обладающих одним векторным индексом (и представляющих собой объект, преобразующийся как вектор в касательном расслоении, и как тензорное произведение в спинорном расслоении), целесообразно ввести псевдоскалярную матрицу

(последнее равенство очевидно при учете соотношений

где а также тензорную комбинацию

При этом имеют место следующие соотношения дуальности:

Собственные значения оператора (киральности) равны ±1, соответствующие правые и левые спиноры таковы:

Все предшествовавшее относилось к фиксированной пространственно-временной точке. Теперь необходимо ввести представление о параллельном переносе спиноров. Вводимая спинорная связность должна быть согласована со связностью в векторном расслоении таким образом, чтобы образованные из компонент спиноров объекты, обладающие нулевой спинорной валентностью и ненулевой тензорной валентностью, преобразовывались бы с помощью обычных символов Кристоффеля. Этому требованию удовлетворяют коэффициенты Фока-Иваненко [285], задающие спинорную ковариантную производную

Коэффициенты выражаются через ковариантные производные от векторов тетрады в виде

(в последней форме записи под понимается

эту производную следует отличать от истинной ковариантной производной у-матриц (как спин-тензоров), которая будет определена ниже). Нетрудно проверить, что введенная выше матрица дираковского сопряжения а удовлетворяет соотношению

в силу которого ковариантная производная от сопряженного спинора имеет вид

Ковариантные производные от спинорных величин более высокой валентности вводятся на основании правила почленного дифференцирования тензорных произведений

Ковариантное дифференцирование спин-тензоров, обладающих тензорной валентностью, дополнительно включает афинную связность, например

В частности, для самих дираковских матриц полная ковариантная производная должна иметь вид

как для векторов в тензорном расслоении и объектов типа в спинорном расслоении. Подставляя сюда (25) и (24), нетрудно убедиться, что

чего и следовало ожидать для связности, согласованной с метрикой, учитывая соотношение (18). В дальнейшем символом будет всегда обозначаться полная ковариантная производная от спин-тензоров произвольной валентности, включающая как афинную, так и спинорную связности. При этом ковариантное дифференцирование произведений объектов различной тензорной и спинорной валентности должно производиться почленно. В соотношении

под следует понимать (27), под и под (30), в

результирующем выражении спинорные связности сокращаются, и мы получаем, как и следовало ожидать, ковариантную производную от вектора.

Аналогичным образом можно ввести производную Ли от спиноров вдоль векторного поля Киллинга согласованную с векторной производной Ли [288]. Производная Ли от 4-компонентного спинора вдоль векторного поля и превращает его в спинор той же валентности

при этом для сопряженного спинора будем иметь

Производные Ли от величин более высокой валентности в спинорном пространстве получаются из предположения о почленном дифференцировании тензорных произведений

а при наличии дополнительных тензорных индексов необходима ввести члены, входящие в производные Ли от соответствующих тензоров. В результате для матриц у будем иметь

что с учетом коммутационного соотношения

дает

Аналогично для матриц Дирака с нижним индексом получим

Нетрудно убедиться в том, что величина дифференцируется по Ли как вектор

при этом спинорные члены, пропорциональные матрицам , сокращаются. Аналогично можно показать, что величина дифференцируется как -форма, как тензор второго ранга и т. д.

После этой предварительной подготовки мы можем записать действие для дираковского поля в искривленном

пространстве-времени (предполагая спинорное поле заряженным и включая также электромагнитное поле) с помощью минимального ковариантного обобщения действия в пространстве—времени Минковского

где символом

обозначена «удлиненная» ковариантная производная. Варьируя действие (42), получаем уравнение Дирака

а также уравнение для сопряженного спинора

Воспользовавшись определениями спиновых коэффициентов (1.56), представим входящие в (25) ковариантные производные от компонент матриц (7) в виде разложения по векторам изотропной тетрады, в результате находим следующее явное выражение коэффициентов спинорной связности:

где введены векторы

Свертывая оператор удлиненной ковариантной производной с матрицами у, для , имеем