Разложение по гармоникам и законы сохранения

Общие формулы для изменения массы и углового момента черной дыры под действием возмущений, а также изменение энергии и углового момента поля за счет излучения на бесконечность были проведены (на примере скалярного поля) в § 4. Для электромагнитного поля в формулы (4.22), (4.23), (4.27) достаточно подставить тензор энергии-импульса в форме (5.33) или (5.34). Для

гравитационного поля соответствующей величины нет, поэтому приходится прибегать к специальным приемам. Так, учитывая, что волновое поле вблизи горизонта событий испытывает бесконечное голубое смещение, в этой области можно использовать эффективный тензор энергии-импульса Айзексона [123]

Интересно, что подстановка (136) в (4.22) и (4.23) приводит к правильным результатам для всех частот. Альтернативный способ состоит в вычислении скорости изменения площади поверхности горизонта событий в соответствии с (4.24). Для этой величины Хокингом и Хартлем [55] было получено выражение

где а — возмущение коэффициента сдвига в базисе (1.62).

С помощью тождеств Риччи, входящих в систему уравнений для гравитационного поля в формализме Ньюмена — Пенроуза можно связать

где все величины отнесены к базису (1.62), значение коэффициента (равного нулю для тетрады Киннерсли) в этом базисе [109]:

оператор с учетом (4.26) на горизонте имеет вид

Для гармоники с определенными поэтому из (6.9) получим

В терминах тетрады Киннерсли поэтому для возмущения с фиксированными из (137) найдем

Учитывая, что для таких возмущений

с помощью (4.24) находим

К такому же результату можно прийти, подставляя (136) в правую часть (4.24) и учитывая, что на горизонте событий [98, 99]

В случае электромагнитных возмущений также удобно воспользоваться соотношением (4.24) и, подставляя (5.34) в правую часть, выразить скорость изменения площади поверхности горизонта через скаляр Ньюмена-Пенроуза :

Далее для возмущений с фиксированными с помощью (4.24) и (140) найдем

При задании граничных условий поглощения на поверхности горизонта (нижний знак в (65) при величины при конечны.

Вычисление волновых потоков на пространственной бесконечности не вызывает затруднений. Для расходящихся электромагнитных волн при поэтому

Подставляя (5.34) в (4.27) с учетом (140), найдем скорость изменения энергии и момента поля за счет потока электромагнитных волн, уходящих на бесконечность:

Если энергия электромагнитного поля изменяется за счет притока электромагнитных волн из бесконечности, то на основании аналогичных рассуждений найдем

что при подстановке в (5.34) и далее в (4.27) дает

(в обоих случаях вклад от отсутствует). Заметим, что вещественная и мнимая части (для расходящихся волн) и (для сходящихся) в асимптотической области пропорциональны амплитудам двух независимых состояний линейной поляризации электромагнитных волн ( компоненты).

Аналогичные вычисления для гравитационных волн на пространственной бесконечности осуществляются в рамках линеаризованной теории на фоне метрики Минковского [9, 36]. В терминах ортогональных компонент и Лвозмущений метрики для тетрадных проекций тензора Вейля при имеем в случае расходящихся волн

(используется дважды поперечная бесследовая калибровка). Для сходящихся волн получим

Вещественная и мнимая части этих выражений соответствуют состояниям поляризации гравитационных волн, которые принято обозначать символами и X, поляризационные тензоры для них имеют вид

в трехмерно-поперечной калибровке, где трехмерные орты вдоль направлений в плоском пространстве. В силу выбора бесследовой калибровки

Соответствующие потоки энергии и момента, вычисляемые на основе стандартной теории [36] для гармоник с определенными записываются в виде

где фактор возникает при дифференцировании по с учетом того, что эффективный тензор энергии-импульса гравитационных волн [36] пропорционален квадрату первых производных от а квадраты величин и .

Приведенные формулы для потоков энергии и аксиальной компоненты момента импульса полей через поверхность горизонта событий и бесконечно удаленную сферическую поверхность полезны при решении задач, в которых заданы соответствующие конфигурации полевых возмущений. В других задачах заданы источники возмущений, а сами поля вычисляются с помощью, например, изложенной выше техники. Построенные функции Грина для полевых возмущений (111) позволяют выразить потери энергии и аксиальной компоненты момента импульса непосредственно в виде интегралов, содержащих источники. При этом в соответствии с четырехмерным характером инвариантного интегрирования в (110) естественно возникают выражения для полных потерь

где введен индекс для скалярных, электромагнитных и гравитационных возмущений соответственно, значения индекса отвечают энергии и проекции момента импульса на ось симметрии. Если источники возмущений локализованы в некоторой компактной области пространства, то вне этой области будем иметь расходящиеся волны (т. е. падающие на черную дыру и уходящие на бесконечность) либо соответствующие регулярные на горизонте и на бесконечности стационарные конфигурации полей, для которых можно использовать асимптотические радиальные функции (63), (65). Вычисление производных под знаком интеграла в (157) проводится далее на основании тех же рассуждений, что и вывод формул (144), (147), (149) (152) (сходящихся волн в такой постановке задачи нет). Явные вычисления будут проведены в § 12.