Излучение скалярных волн

Для случая построенные выше радиальные функции непосредственно связаны с физическим скалярным полем. Поэтому дальнейшая задача сводится к нахождению решения неоднородного уравнения (7.7) с источником

который с точностью до коэффициента представляет собой след тензора энергии-импульса частицы, движущейся по орбите радиуса в экваториальной плоскости метрики Керра с угловой скоростью скалярный заряд. Временная компонента 4-скорости находится из соотношения

и равна

Источник в радиальном уравнении

содержит сфероидальные функции при которые при больших дают множитель поэтому основной вклад в излучение будет давать область значений Запаздывающие решения неоднородного радиального уравнения получаются с помощью функции Грина (7.111) при

Подставляя (39) в (1) и переходя к асимптотическим областям будем иметь

где некоторые фазы, а коэффициенты равны

(для функций в точке использованы значения При больших сфероидальные гармоники имеют максимум в; окрестности с шириной

(см. Дополнение). Экспоненциальный множитель в (41) выделяет в сумме (40) по узкую область значений в окрестности с хорошей точностью в этой сумме можна оставить всего один член По той же причине эффективная область изменения простирается вплоть до и, поскольку , находим, что высокочастотная часть излучения сосредоточена в узкой области углов

около плоскости (движения)

Подстановка асимптотики (40) при в (4.27) приводит к. следующему выражению для интенсивности излучения, уходящего на бесконечность:

где значения полиномов Эрмита в нуле Соответствующая величина скорости потери углового момента связана с (44) соотношением

поскольку для отдельных мультиполей

Если аппроксимировать гамма-функцию в (44) первым членом разложения по формуле Стирлинга, то получим результат, найденный в [94] (однако использование формулы Стирлинга снижает точность, так как аргумент гамма-функции не является большим: в существенной области изменения

Как видно из формулы (44), при спектр спадает экспоненциально, значение соответствует (члены дают вклад 0,1% от основного члена Таким

образом, мультипольное разложение скалярного ГСИ включает гармоники граничная частота в спектре равна

Характерной особенностью является обращение интенсивности излучения в нуль при (что возможно в случае экстремальной метрики Керра

Учитывая квазинепрерывность спектра при больших перейдем от суммирования по к интегрированию по параметру

или с учетом лишь основного члена

Из этих формул видно, что интенсивность ГСИ содержит множитель при этом зависимость от слабая (при Заметим, что интенсивность СИ, возникающего при движении релятивистских частиц в плоском пространстве-времени по окружности, пропорциональна Причина этого различия в том, что граничная частота СИ в раз больше величины (46), а интенсивность пропорциональна (это, в свою очередь объясняется различием длин формирования высокочастотного импульса в режимах СИ и ГСИ, подробнее см. § 14).

Вычисление интенсивности скалярного излучения, поглощаемого черной дырой, выполняется с помощью формулы (4.22) (для потерн углового момента сохраняет силу соотношение При этом, различие в численных множителях в (40) для компенсируется при дифференцировании по и мы получаем простой результат

где знаковая функция указывает на принципиальную возможность суперрадиации. Однако с помощью явного выражения для угловой скорости частицы (3.18) нетрудно показать, что знаковая функция в (49) положительна как для прямого, так и обратного вращений независимо от Это означает, что в режиме ГСИ

всегда имеет место поглощение излучения черной дырой, причем поглощается ровно половина энергии, теряемой частицей, поскольку

Физически это объясняется тем, что радиус круговой орбиты ультрарелятивистской частицы отличается от радиуса круговой фотонной орбиты (за которой фотоны захватываются дырой) на величину порядка в то время как основная высокочастотная часть излучения испускается в конус с углом раствора вокруг касательной к траектории. Ясно, что с точностью до малых поправок половина скалярных фотонов будет захватываться черной дырой, вторая половина — уходить на бесконечность.