Экваториальные геодезические в пространстве-времени Керра

Выражая компоненты 4-скорости через интегралы движения (4), (5) и (8) (при и учитывая равенство получаем систему первых интегралов уравнений движения

Эти уравнения допускают возможность движения в одной плоскости, лишь если эта плоскость экваториальная, что ясно уже из соображений симметрии. В этом случае, полагая и выразив К через из условия

получим систему из трех уравнений

Для отыскания параметров круговых орбит нужно решить систему уравнений

откуда находим следующие выражения для энергии и угловога момента через радиус орбиты [73]:

Здесь верхний знак соответствует движению частицы по направлению вращения черной дыры (прямые орбиты), а нижний — в противоположном направлении (обратные орбиты). Знаменатель в выражениях (13) и (14) обращается в нуль при где радиус круговой изотропной геодезической (круговой фотонной: орбиты)

откуда следует

Движение массивных частиц по круговым орбитам с радиусом, близким к является ультрарелятивистским; полагая из (13) и (16) найдем

Заметим, что в поле Шварцшильда радиус круговой фотонной орбиты

Подстановка (13) и (14) во второе уравнение системы (11) дает угловую скорость кругового движения частицы в экваториальной плоскости пространства Керра

где соответствующая угловая скорость в поле Шварцшильда

Вопрос об устойчивости движения по круговым орбитам будет рассмотрен ниже при исследовании малых колебаний около круговых орбит. Заметим только, что в поле Керра не все круговые орбиты являются связанными (т. е. имеют как видно из (13), возможны круговые геодезические и при (они все оказываются неустойчивыми).

Для описания инфинитного движения удобнее использовать в качестве переменной обратный радиус Из второй пары уравнений (11) находим тогда уравнение для траектории в виде

где полином третьей степени

В зависимости от положения корней движение имеет различный характер. Если все корни действительны, причем происходит рассеяние, т. е. частица, пролетев мимо черной дыры и сделав, возможно, один или несколько оборотов вокруг нее, уходит на бесконечность. Захват частицы черной дырой отвечает комплексным значениям корней Случай (все корни действительны) является критическим. При этом траектория частицы асимптотически навивается на окружность

радиуса совершая бесконечное число оборотов вокруг черной дыры. В этом последнем случае

где К определяется формулой (10) и причем

Уравнение (23) — алгебраическое уравнение шестой степени относительно момента количества движения, аналитически его решение можно найти в случае нерелятивистских частиц

и ультрарелятивистских

Для случая метрики Шварцшильда будем иметь

Интегрируя уравнение траектории (20) при находим

где

Из этой формулы следует, что ультрарелятивистская частица, приходящая из бесконечности с моментом, близким к критическому, будет навиваться на круговую изотропную геодезическую.