Уравнения движения точечной частицы с учетом реакции излучения и законы сохранения

Рассмотрим сначала уравнения движения точечной частицы в заданном поле — скалярном, электромагнитном и поле гравитационных возмущений в фоновом пространстве времени с метрикой (соответствующие константы связи будут масса частицы). Варьируя лагранжиан (4.7) по координатам частицы, взаимодействующей со скалярным полем, получим уравнение движения

где величина в квадратных скобках играет роль обобщенного импульса, ковариантная производная вдоль мировой линии частицы. Правая часть (32) имеет смысл 4-силы, именно эта величина и будет интересовать нас ниже.

В случае электрического заряда, движущегося в электромагнитном поле имеем

где во втором слагаемом выделена полная производная от

4-потенциала вдоль мировой линии частицы (не дающая вклада в необратимые потери на излучение). Интересующая нас сила радиационного трения, следовательно, содержится в первом слагаемом в (33), который имеет вид, аналогичный правой части (32).

Наконец, уравнение движения нейтральной частицы в поле гравитационных возмущений на фоне искривленного пространства-времени с метрикой можно получить из уравнения геодезических в пространстве-времени с метрикой [189]

где

(величины без волны относятся к фоновой метрике

Разлагая по в первом порядке получаем уравнение

в правой части которого первый член также имеет структуру, аналогичную правой части (32). Левая часть (36), как и в скалярном случае, имеет смысл производной от обобщенного импульса частицы (более подробное обсуждение уравнений движения в скалярном и тензорном полях см. в [190]). Опуская полные производные и подставляя в соответствии с общей теорией в правые части (32), (33) и (36) полуразности соответствующих запаздывающего и опережающего полей, получим следующее универсальное уравнение:

где сила радиационного трения равна

в скалярном, Электромагнитном и гравитационном случаях соответственно. Здесь символом обозначен обобщенный импульс частицы (входящий в левую часть (32) и (36)). В случае фоновой метрики Керра зависящей от второй член в (12.37) для временной и азимутальной компонент вклада не дает, и мы имеем

В отсутствие силы радиационного трения уравнение (41) выражает закон сохранения энергии и проекции углового момента частицы на ось симметрии поля Керра. Рассмотрим теперь радиационные потери за все время движения (предполагая, что они конечны, в противном случае те же рассуждения можно провести для средней мощности)

где знаковый множитель соответствует выбранной сигнатуре метрики. Интегрирование в (42) следует проводить по невозмущенной траектории (все рассмотрение ограничено первым приближением теории возмущений). Радиационные поля в правых частях (38) — (40) строятся с помощью функций Грина (16):

где источники при различных описываются формулой

и дельта-функция определена соотношением

После подстановки (16) в (43) интегрирование по х выполняется с помощью дельта-функции, и остается интеграл вдоль мировой линии частицы по параметру моментам «излучения». Искомое поле следует затем взять на мировой линии частицы в момент и проинтегрировать по Результат можно представить в виде скалярного произведения полевых мод на функцию источника [113]

В силу соотношений (7.106) и (12.7) это выражение не изменяется при замене Таким образом, результат не зависит от выбора калибровки потенциалов. Сравнивая (46) с выражениями для радиационных потерь, вычисленными через потоки в волновых зонах можно установить соотношение

для всех (учитывая (7.106) и (12.7). Таким образом, полученные на основе вычисления силы радиационного трения (локально) потери энергии и проекции углового момента на ось симметрии частицы в поле Керра совпадают с соответствующими величинами, рассчитанными в волновой зоне. Для мод с второе слагаемое в правой части (47) отрицательно (суперрадиация), т. е. радиационные потери меньше полной интенсивности излучения на бесконечности. При (т. е. для покоящейся частицы) потери энергии не происходит обращается в нуль для Однако потеря момента по-прежнему происходит, так как при второе слагаемое в (12.46) остается отличным от нуля. Обсудим этот эффект подробнее.