Вращающаяся черная дыра в сильном магнитном поле

Потенциалы Эрнста поля Керра — Ньюмена можно выбрать в виде [63, 70]

Преобразование Харрисона (5) дает новые потенциалы «замагниченного» решения; при этом квадрат интервала приобретает вид

где и функция со подчиняется уравнению [65]

в котором символом обозначен оператор Величина в (16) комплексна, ее значения на положительной и отрицательной частях полярной оси комплексно сопряжены друг к другу

аналогичным свойством обладают потенциалы Эрнста

Вблизи полярной оси имеем следующее отношение компонент метрики

что свидетельствует о возможной конической особенности (аналогично для если считать, что угол изменяется, как в «затравочном» решении, от 0 до [70]. Избежать появления конических особенностей можно, ограничив изменение азимутального угла значениями либо вводя новую координату изменяющуюся на стандартном интервале Заметим, что описанный выше метод построения новых точных решений не фиксирует глобальной структуры многообразия, обеспечивая лишь локальное выполнение уравнений Эйнштейна — Максвелла.

Обсудим свойства электромагнитного поля, отвечающего преобразованному потенциалу Эрнста Компоненты электрического и магнитного полей в локально лоренцевой системе отсчета, в которой могут быть найдены по формулам [63]

Подставляя значения в и далее в и сохраняя лишь линейные по напряженности магнитного поля В члены, на больших расстояниях от горизонта событий будем иметь

В этом приближении магнитное поле является суперпозицией однородного поля и поля магнитного диполя, а электрическое поле содержит кулонову часть (первый член в и фарадеевскую часть, обязанную электромагнитной индукции при вращении черной дыры в магнитном поле (интеграл по углам от второго слагаемого обращается в нуль). Заметим, что кулоновская часть соответствует не «затравочному» заряду а заряду этот результат верен с точностью до линейных членов по В. Физическое значение электрического заряда, отвечающего преобразованному решению, может быть найдено точно. Для этого вычислим полный поток электрического и магнитного полей через замкнутую поверхность, окружающую черную дыру, переходя к локальным координатам и воспользовавшись соотношениями (21). Это удобнее всего сделать для комплексной величины где электрический, магнитный заряды

Таким образом, магнитный заряд преобразованного решения остается равным нулю, а электрический существенно отличается от затравочного значения:

С помощью соотношений (21) нетрудно также вычислить точное значение компонент электрического поля на оси симметрии при

Эта величина обращается в нуль лишь для шварцшильдовой дыры таким образом, поле, соответствующее преобразованному решению, уже не является чисто магнитным даже асимптотически.

Для полного определения метрики необходимо построить решение уравнения (17) для величины со, определяющей недиагональную компоненту метрики Эта операция неоднозначна, так как в уравнения входят лишь производные от и к любому решению можно добавить произвольную постоянную. В принципе доопределение параметров можно было бы осуществить, фиксируя значения массы и углового момента дыры в преобразованном решении, однако сами эти величины становятся неопределенными из-за асимптотически неплоского характера метрики. Характерно, что отличное от нуля значение со получается при равном нулю затравочном а [63]

Таким образом, преобразованное решение содержит эргосферу, параметры которой зависят от напряженности магнитного поля. Это открывает любопытную возможность «управления» энергетикой черных дыр (включая квантовые процессы, подробнее см. § 19) с помощью внешнего магнитного поля. Анализируя поведение решения уравнения (17) в окрестности горизонта событий, можно показать, что функция стремится на горизонте к постоянному (не зависящему от угла значению (чего и следовало ожидать согласно теореме Картера о постоянстве угловой скорости вращения горизонта) и разложима в окрестности горизонта в степенной ряд. Далее нетрудно убедиться в отсутствии сингулярности на горизонте для преобразованного решения, переходя к координатам Эддингтона — Финкельштейна

в которых квадрат интервала (16) не имеет особенностей. Площадь поверхности горизонта событий вычисляется по формуле (1.20) с учетом изменения границы интегрирования по азимутальному углу

Параметры , так же как и (для которого это было продемонстрировано явно нельзя интерпретировать как физические значения массы и параметра вращения преобразованного решения, более того, значения массы и углового момента, определяемые с помощью двумерных поверхностных интегралов, содержащих поля Киллинга

расходятся, если их вычислять по бесконечно удаленной поверхности. Значения Мн, этих интегралов по поверхности горизонта конечны; разности выражаются через объемные интегралы от соответствующих компонент тензора энергии-импульса [26]

При эти величины конечны и выражают вклад электромагнитного поля Керра — Ньюмена в полную энергию и угловой момент конфигурации

При соответствующие электромагнитные вклады расходятся.