§ 21. МАССИВНОЕ ВЕКТОРНОЕ ПОЛЕ

Заканчивая обсуждение теории массивных полей в окрестности черных дыр, рассмотрим комплексное (заряженное) векторное поле на фоне электровакуумного решения типа Будем считать, что взаимодействие с гравитационным полем носит минимальный характер, т. е. полевые уравнения являются общековариантным обобщением соответствующих уравнений в пространстве Минковского. Что же касается взаимодействия с электромагнитным полем фона, то, как известно, в современных калибровочных теориях (в частности, теории электрослабого взаимодействия) оно характеризуется, помимо электрического заряда еще одним параметром, обозначаемым ниже у, задающим аномальный магнитный момент векторной частицы. Соответствующий лагранжиан получается из стандартного лагранжиана Прока добавлением полной дивергенции и последующим удлинением производных:

где

обобщенный бивектор поля, удлиненная ковариантная производная, — 4-потенциал, тензор напряженностей внешнего электромагнитного поля, — масса векторной частицы. Варьируя действие, получим уравнения поля

Не все компоненты поля независимы, дифференцируя (3), найдем условие связи

Дуальный бивектор поля в отличие от максвелловского случая, удовлетворяет неоднородному уравнению

Для перехода к описанию векторного поля в формализме Ньюмена-Пенроуза построим самодуальную и антисамодуальную комбинации уравнений (3) и (5) для них будем иметь

где самодуальный бивектор внешнего электромагнитного лоля, Заметим, что эта система при (что имеет место в модели Вайнберга-Салама) более симметрична: в уравнение для самодуального (антисамодуального) бивектора входит тогда лишь самодуальный (антисамодуальный) бивектор электромагнитного поля фона.

Введенные величины имеют следующие разложения по базисам самодуальных и антисамодуальных бивекторов:

где и введены шесть комплексных скаляров (для вещественного поля Обратный переход от тензора поля к скалярам Ньюмена-Пенроуза осуществляется по формулам

Проектируя уравнения (5) на векторы изотропной тетрады, лолучим систему уравнений для скаляров аналогичную уравнениям Максвелла с источниками, в роли которых выступает само поле для будем иметь

где введены величины

единственный отличный от нуля скаляр фонового поля, и постоянные равны

В формализме первого порядка в качестве полевых функций можно выбрать скаляры и тетрадные проекции поля Для замыкания системы уравнений достаточно записать в терминах тетрадных проекций определение (2) бивектора поля:

Чтобы получить аналогичную систему, для антисамодуадьной части поля, нужно все операторы и спиновые коэффициенты в (9), (11) заменить на комплексно сопряженные, оставив без изменения электромагнитные добавки кроме того, и в правых частях в .