Вакуумные возмущения метрики

Прежде всего необходимо выразить тетрадные проекции и тензора Вейля через возмущения метрики. Для этой цели удобно воспользоваться формулой [42] для вариации тензора Римана

где в правой части символом обозначен тензор Римана невозмущенной метрики Керра. Возмущения тензора Риччи и скалярной кривизны будут при этом равны

где поднятие и опускание индексов производится с помощью метрического тензора фоновой метрики Керра и Подставляя (22) — (24) в (12) и учитывая, что для метрики фона после проектирования на векторы невозмущенной изотропной тетрады найдем

где введены операторы

Эти выражения справедливы при произвольном выборе калибровки потенциалов

Произведем теперь аналогичное разложение в уравнениях Эйнштейна (1) для полного гравитационного поля

Подставляя выражения (23), (24) в (28), получим следующее линеаризованное уравнение для

где введен дифференциальный оператор второго порядка

удовлетворяющий соотношениям симметрии

Если подействовать на правую часть операторами (21), то получим источники входящие в разделенные уравнения (16) и (19) для величин и В левой части уравнения (29) при этом возникают дифференциальные операторы четвертого порядка. С другой стороны, если в уравнениях (16) и (19) выразить и через с помощью соотношений (25), то также будем иметь дифференциальные уравнения четвертого порядка. Можно предположить (и это действительно подтверждается вычислением), что возникающие дифференциальные операторы будут совпадать по крайней мере на множестве решений линеаризованных уравнений Эйнштейна в пустоте, т. е.

где и символом обозначены операторы

Таким образом, мы снова получаем уравнения Тьюкольского и (19) для в форме

где следует положить

Наша цель — отыскание возмущений метрики в терминах величин, для которых возможно получение разделенных уравнений. Возможный путь к решению этой задачи подсказывает операторное равенство (32). Чтобы выразить решение уравнения для через решение другого уравнения для некоторой скалярной функции, достаточно перейти к сопряженному операторному равенству, определив эту операцию так, чтобы оператор гравитационных возмущений являлся самосопряженным. Покажем [112, 113], что этим свойством обладает операция сопряжения относительно скалярного произведения в пространстве симметричных тензоров с компонентами принадлежащими классу функций Введем для двух тензоров одинакового ранга скалярное произведение согласно формуле

Рассмотрим оператор превращающий тензор ранга в тензор того же типа ранга

Оператором сопряженным к в смысле скалярного произведения (37), назовем оператор, задаваемый соотношением

или, в компонентной форме,

Очевидно, что для двух операторов таких, что определена их композиция т. е.

(«выходная» валентность и «входная» валентность очевидно, для этого должны совпадать), операция сопряжения произведения приводит к произведению сопряженных операторов в обратном порядке

Простейший оператор умножения на комплексное число при операции сопряжения переходит в комплексно-сопряженный, Оператор ковариантного дифференцирования является антисамосопряженным поскольку

(интеграл по граничной поверхности исчезает для рассматриваемого класса функций). Аналогичным образом нетрудно установить правила сопряжения для операторов (4.34) — (4.37):

С помощью повторного интегрирования по частям можно показать, что оператор (вещественный) при сопряжении переходит в аналогичный оператор с переставленными индексами

Это соотношение и является основным элементом схемы построения возмущений метрики Применим операцию я- к операторному равенству (32). Учитывая (41) и (45), будем иметь

Введем в рассмотрение комплекснозначные функции подчиняющиеся уравнению

Можно утверждать, что если решение уравнения (47), то величина

удовлетворяет соотношению

т. е. линеаризованным уравнениям Эйнштейна (29) при Действительно, сказанное непосредственно вытекает из операторного

равенства (46) применительно к функции удовлетворяющей (47).

Покажем теперь, что оператор Тьюкольского при сопряжении переходит в оператор

Чтобы в этом убедиться, достаточно применить операцию к (33), (34), учитывая правила сопряжения (41), (43), (44), и сравнить полученный результат с (50). Таким образом, оператор фактически не является новым и уравнение можно записать с помощью операторов Тьюкольского используя комплексное сопряжение

Итак, имея решение однородного уравнения Тьюкольского, можно построить решение линеаризованных уравнений Эйнштейна (49) в виде (48). Величины таким образом, играют роль потенциалов Дебая для возмущений метрики. Альтернативное построение потенциалов Дебая для гравитационных возмущений было дано в работе [106]. Два значения в (48) соответствуют двум различным калибровкам гравитационных возмущений

Получаемые с помощью соотношения (48) величины комплексны, однако в силу вещественности оператора действительная и мнимая части (48) удовлетворяют в отдельности линеаризованным уравнениям Эйнштейна без источников. Можно показать, что действительная и мнимая части (48) описывают четные и нечетные относительно пространственных отражений возмущения метрики. Введем оператор пространственной инверсии 1, действие которого на некоторую функцию от координат выражается равенством

Метрика Керра является четной относительно пространственных отражений, т. е.

Нетрудно установить следующие правила коммутации оператора с векторами невозмущенной тетрады Киннерсли:

а также соотношения коммутации I с операторами

и, наконец,

Используя эти правила, находим

и поэтому решение уравнения (47) можно выбрать так, что при инверсии координат оно перейдет в комплексно-сопряженное

Кроме того,

и, следовательно,

Таким образом, вещественная и мнимая части комплексных потенциалов

определяют четные и нечетные возмущения метрики (множитель введен в (60) для унификации с описанием электромагнитных возмущений).

Явные выражения для операторов получаются с помощью (43), (44)

Они дают возмущения метрики в in-калибровке при и out-калибровке при

Соотношение между и

В силу калибровочной инвариантности тетрадных проекций тензора Вейля подстановка в (24) должна давать одинаковые результаты. Это условие, с одной стороны, налагает связь на потенциалы Дебая , а с другой — позволяет получить соотношение между аналогичное соотношению (5.27) для электромагнитного поля. При выводе этого соотношения следует иметь в виду, что в формулы (25) необходимо подставлять физические (вещественные) возмущения метрики, а не комплексные

потенциалы. Это можно сделать с помощью разбиения на четную и нечетную части

Если в этом соотношении, куда могут входить различные комбинации приравнять правые части при фиксированном и различных то получим соотношение между потенциалами Дебая . Если же в нем зафиксировать получим величины выраженные через один потенциал Дебая, что и дает искомое соотношение.

Подстановка в (66) приводит к сверткам операторов с и при различных сочетаниях Учитывая явные формулы для этих операторов (26), (27), (64), (65) и правила коммутации (4.39) — (4.42), можно доказать соотношения [113]

а также установить обращение в нуль диагональных комбинаций

Преобразование двух оставшихся комбинаций операторов значительно сложнее. Для наших целей, однако, достаточно рассматривать операторы на множестве решений уравнений для потенциалов Дебая и использовать эти уравнения для понижения порядка операторов. В результате громоздких вычислений получаем

где невозмущенное значение проекции тензора Вейля. С помощью и с учетом коммутативности операторов находим два соотношения между

и

Эти соотношения справедливы в вакуумной области (где . В отличие от их электромагнитного аналога они не являются линейными, так как содержат антилинейные члены в правых частях. Приведем также выражения для проекций

тензора Вейля четных возмущений через потенциал Дебая:

Потенциалы Дебая для

Аналогичный метод применйм и к электромагнитным возмущениям. Исходя из уравнений Максвелла, записанных через вещественный 4-потенциал

где оператор

и используя проекционные операторы дающие источники в уравнениях Тьюкольского

лолучим уравнения

Явный вид операторов вытекает из соотношений (5.22), (5.24):

Далее строим операторы выражающие тетрадные проекции максвелловского тензора через вещественный 4-потенциал,

проектируя равенство на векторы изотропной тетрады

Переставляя операторы в левой части (76), выделяем справа вектор, после чего слева остается скалярный оператор второго порядка [113]

где в явном виде

Таким образом, из уравнений Максвелла для (73) мы снова получаем уравнение Тьюкольского. Применим теперь к операторному тождеству (82) операцию сопряжения . С помощью интегрирования по частям нетрудно убедиться в том, что у оператора при этом изменяется порядок индексов:

(заметим что оператор симметричен по индексам лишь на множестве скаляров). С учетом этого равенство (82) в результате сопряжения приобретает вид

и, следовательно, для любого решения уравнения (47) с комплексный 4-вектор

будет удовлетворять уравнению (73) при (Уравнения (5.38), (5.39) для потенциалов Дебая в in и out-калибровках совпадают с (47) при соответственно.) Явные выражения для операторов таковы:

Вещественная и мнимая части комплексного вектора (87) дают четные и нечетные возмущения поля при условии, что потенциал Дебая удовлетворяет соотношению (60). Формулы (5.35), (5.36), (5.51), (5.52), выражающие через потенциалы Дебая, а также перекрестные соотношения (5.27), (5.28) получаются подстановкой вещественной и мнимой частей (87) в выражения для соответствующих полевых функций при учете легко проверяемых соотношений

Все аналогичные свертки с комплексно сопряженным оператором тождественно обращаются в нуль, что отличает случай электромагнитных возмущений от гравитационных.