Квантовое рождение частиц

Для проведения вторичного квантования необходимо построить полную систему классических решений с заданными

ничными условиями. Рассмотрим сначала асимптотическое поведение радиальных функций на горизонтах событий. Вводя черепашью координату нетрудно показать, что при

Как видно из (73), (83), вблизи горизонтов

т. е. описывает волну, выходящую из-под горизонта событий черной дыры и уходящую за космологический горизонт, выходящую из-за космологического горизонта и поглощаемую черной дырой. Такое поведение характерно как для безмассовых, так и массивных частиц (на горизонтах частицы эффективно становятся безмассовыми). Заметим, что коэффициенты перед экспонентами в (84) не связаны между собой.

В промежуточной области получаем простую систему

общее решение которой имеет вид

где произвольные постоянные.

Введем два линейно независимых решения системы (73) таким образом, чтобы описывало «чистую» падающую волну на горизонте черной дыры, а волну, уходящую за космологический горизонт. Тогда первое решение вблизи космологического горизонта будет содержать как волну, распространяющуюся в направлении к черной дыре (падающую волну), так и волну в обратном направлении (отраженную), соответственно второе решение будет содержать вблизи горизонта событий черной дыры волну, движущуюся в направлении космологического горизонта (падающую) и обратно (отраженную). Выберем нормировку так, чтобы в обоих случаях падающие волны входили с единичным коэффициентом. Учитывая соотношения (86) в промежуточной области, а также постоянство вронскиана можем написать.

Приравнивая асимптотические значения вронскиана находим соотношение между полным коэффициентом прохождения и коэффициентом отражения о

выражающее собой сохранение потока вероятности. В отличие от случая скалярного поля коэффициент при всегда положителен и при т. е. усиления волн при отражении от дыры не происходит. Заметим, что отсутствие суперрадиации для дираковского поля является следствием классических уравнений поля вне видимой связи со статикой Ферми-Дирака, заведомо исключающей возможность индуцированных процессов (каковым является эффект усиления волн целочисленного спина при отражении от вращающейся черной дыры в режиме суперрадиации . С другой стороны, как впервые указал Бекенштейн [303], при выполнении соотношения между проекцией момента количества движения на ось симметрии и энергией парциальной волны условие суперрадиации при с необходимостью следует из теоремы Хокинга о неубывании площади поверхности горизонта событий что очевидно из (1.27). Поскольку неравенство следует из условия положительности энергии, отсутствие суперрадиации для классического фермионного поля должно означать, что классическая плотность энергии этого поля вблизи горизонта событий отрицательна. Подстановка асимптотик (87) в соответствующие компоненты тензора энергии-импульса (57) действительно подтверждает эти соображения (см. также [2, 288, 304]).

Приравнивая далее асимптотические значения вронскианов находим следующие соотношения между коэффициентами в (87):

выражающие связь между потоками в промежуточной области и вблизи горизонтов событий.

Введем в пространстве решений уравнения Дирака скалярное произведение

где — некоторая пространственно-подобная гиперповерхность, в качестве которой удобно взять гиперповерхность, ортогональную Построим базисные функции и подставляя в (12) разложения (72) с учетом тождеств (75), используя угловые функции, нормированные согласно (79) и радиальные функции с асимптотиками (87). Умножая их дополнительно на получим моды, нормированные условием

где, как и в скалярном случае, нормировочные интегралы вычисляются с учетом лишь падающих волн для каждого из состояний двух типов (широкие волновые пакеты в областях Коши).

Чтобы провести вторичное квантование фермионного поля, необходимо условиться о выборе положительно-частотных мод. Выбор в качестве положительно-частотных тех решений, которые аналитичны в нижней полуплоскости комплексного времени ведет к системе операторов рождения и уничтожения

и вакууму Бульвара (19.21). Если же в качестве положительночастотных решений выбрать функции, аналитичные в указанном выше смысле по крускаловой координате то, как было объяснено в предыдущем разделе, мы придем к вакуумному состоянию, обобщающему вакуум Унру на случай космологической черной дыры (вакуум Гиббонса-Хокинга). Соответствующее разложение оператора поля будет иметь вид

где нормировочный множитель, учитывающий вклад области на рис. 1, величины определены, как в (19.21).

Операторы описывают рождение частицы и уничтожение

античастицы с квантовыми числами уходящих за космологический горизонт, а операторы рождение античастицы и уничтожение частицы, поглощаемых черной дырой (разложение сопряженного оператора соответственно содержит операторы Введенные операторы удовлетворяют стандартным фермиевским соотношениям антикоммутации

(все остальные антикоммутаторы равны нулю).

При переходе ко вторично квантованной теории операторы токов следует симметризовать, например

а затем подставить разложение (93) и аналогичное разложение для Заметим еще раз, что в отличие от теории поля в пространстве Минковского здесь не следует производить нормального упорядочения, а устранение бесконечных величин типа собственной энергии вакуума необходимо проводить с помощью явной перенормировочной процедуры.

Среднее значение оператора тока в состоянии вакуума Гиббонса-Хокинга равно

где диагональные компоненты соответствующих билинейных форм от классических решений. При «выключении» космологического горизонта мы приходим к обычным выражениям, описывающим тепловое распределение фермионов с температурой [275, 305, 306]. В частности, интегрируя выражения для потоков энергии и углового момента, для потерь массы и момента вращения дыры за счет испускания частиц на бесконечность (помимо этого происходит, как и в скалярном случае, заселение квазистационарных состояний [283]) будем иметь

что отличается от (19.28) заменой планковского распределения на фермиевское. Числитель этого выражения в отличие от (19.28)] не меняет знака для мод однако и знаменатель при устремлении к нулю температуры дыры остается положительным, что говорит о наличии спонтанной суперрадиации на этих модах.