Факторизованные функции Грина

Прежде всего необходимо выразить потенциалы Дебая, отвечающиерешениям (92) в терминах «неспроектированных» источников Будем предполагать, что эти функции локализованы в компактной пространственной области (95). Тогда вместо (92) можно написать решения вне этой области в виде

Далее подставляем источники, стоящие в правых частях (81), (87) с учетом фактора (91), и используем явное выражение для Затем вместо вводим согласно после чего возвращаемся к исходным радиальным функциям с учетом соотношения (56). В результате в области например, имеем

Интегралы в этих выражениях имеют вид скалярных произведений (6.37). Используя определение сопряженных операторов (6.39), можем переписать эти интегралы в виде

Левый сомножитель в этом скалярном произведении, как можно убедиться, сравнивая с (27) и (35), представляет собой возмущение потенциалов моды и (100) можно в безындексной форме записать как

где величина имеет компоненты и учтено соотношение (6.61).

Заметим, что потенциалы отличаются между собой калибровочным преобразованием, т. е.

где некоторые скалярные функции. Учитывая законы сохранения для источников

нетрудно доказать обращение в нуль интегралов

при сделанных предположениях относительно компактности источников (а также гипотезы об их адиабатическом «выключении» при Это означает, что скалярные произведения (100) с точностью до нормировки радиальных функций не должны зависеть от знака Для согласования нормировки заметим, что функции удовлетворяют соотношениям (42), (43), (54), (55), которым должны подчиняться и левые части (97), (98). «Лишними множителями» в (97), (98) являются обратные вронскианы поэтому должно выполняться равенство

или с учетом (97) и (80), (81)

Необходимо также убедиться в том, что построенные функции (99) удовлетворяют соотношениям сим метрик (28) при условии, если (28) имеет место для мод Это действительно следует из соотношений для угловых функций, формулы (6.59) и предположения, что коэффициенты обладают свойством

Функции (97) — (99) по построению удовлетворяют уравнениям Тьюкольского в терминах «диагональных» разложений (39), (40) с соответствующими источниками. Далее, в силу (106) и выполнения равенств (42), (43), (54), (55) для решений будут справедливы и «недиагональные» разложения (37), (38). Следовательно, в областях, где плотность источников обращается в нуль, найденные решения полностью описывают возмущения метрики и электромагнитного поля. Далее с помощью радиальных функций (97), (99) строим моды "Ешар (27) и затем с помощью (35) находим возмущения потенциалов Аналогичные рассуждения:

можно проделать для области в этом случае получим скалярное произведение (101) для down-моды и потенциал Дебая для in-моды. После этого следует построить вещественные возмущения, суммируя выражения типа

по индексам

Оставшийся произвол в выборе нормировочных постоянных можно использовать для упрощения записи. Формулы (80), (81) связывают между собой значения вронскианов (97) с противоположными Поэтому доопределение постоянных в радиальных функциях не удается выполнить так, чтобы уничтожить все численные коэффициенты в (97) — (99). Можно, однако, в согласии с (80), (81) фиксировать эти постоянные так, чтобы получить простое выражение для факторизованных функций Грина. К этой цели приводит выбор

где некоторая фаза, назначение которой — обеспечить выполнение соотношений между радиальными функциями (28).

Подставляя в (108) радиальные функции (97) — (99) и заменяя в (что возможно в силу доказанного выше), получим при выборе постоянных (109) следующее выражение для полевых возмущений вне области локализации источника:

В это выражение входит запаздывающая функция Грина

где проекционный оператор, введенный в (101), величины

и др. определяются формулой (35), в которую следует подставить радиальные функции (67), (66), (72) соответствующего типа. При выводе формулы (111) были использованы соотношения (6.60) и (6.61), связывающие комплексно-сопряженные потенциалы Дебая с величинами, возникающими при инверсии координат. Функция Грина является скаляром для тензором второго ранга для и тензором четвертого ранга для Мы построили ее таким образом, что вне области локализации источника решения (110) для электромагнитных и гравитационных возмущений приводят к правильным значениям для калибровочно инвариантных тетрадных проекций тензоров Максвелла и Вейля

при любых комбинациях, равных по абсолютной величине . В свою очередь, функции однозначно (с точностью до изменения параметров массы, момента вращения и заряда черной дыры) определяют возмущения в области вне локализации источников [110].

Выражение для функций Грина (111) внешне не отличается от полученного в работе [98], однако имеется отличие в структуре величин входящие в них радиальные функции различны для разных Факторизованные функции Грина, построенные в [98], были проверены лишь для более простого случая диагональных проекций (112) при Полученные в § 6 формулы (6.69) позволяют провести проверку и для при этом оказывается, что найденное выше выражение (111) действительно удовлетворяет требованию независимости результатов для от выбора калибровки.

Покажем, что функции Грина (111) являются вещественными. Для этого достаточно воспользоваться соотношениями (28), (30) и (57), выражающими действие инверсии на парциальные моды:

а также учесть, что при замене под знаком суммы в (111) множитель перед фигурной скобкой переходит в комплексно-сопряженный. Проделав необходимые переобозначения индексов, находим

Поскольку опережающие функции Грина получаются из запаздывающих в результате перестановки аргументов и комплексного сопряжения, из (114) следует, что

Заметим, что соотношение (109) не фиксирует нормировки радиальных функций, входящих в (111). Доопределение коэффициентов не сказывается на функциях Грина, однако нужно иметь в виду, что должны выполняться соотношения (28) и (107), справедливость которых предполагалась при выводе формулы (111).